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“指数规则”是另一个有用的特性。
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定理:对于任意正数x和y,都有:
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logxn=nlogx
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证明:根据指数法则,abc= (ab)c。因此:
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10nlogx= (10logx)n=xn
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也就是说,xn的对数等于nlogx。 □
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尽管以10为底的对数在化学和物理科学(如地质学)中的应用非常广泛,但是它本身并没有什么特别之处。在计算机科学与离散数学中,以2为底的对数受欢迎的程度更高。对于任意b> 0,以b为底的对数logb都要遵循下面这条规则:
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如果by=x,那么y= logbx
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例如,log232 = 5,因为25= 32。底为任意数字b时,前面讨论的对数属性都成立。例如:
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blogbx=xlogbxy= logbx+ logbylogbxn=nlogbx
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不过,在数学、物理学和工程学的大多数领域里,应用最广泛的还是以e为底的对数。这种对数叫作“自然对数”(natural logarithm),记作lnx。也就是说:
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如果ey=x,那么y= lnx
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或者说,对于任意实数x:
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ln ex=x
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例如,利用计算器就可以算出ln 5 = 1.609…,我们在前文中也算出e1.609≈ 5。在本书第11章,我们将更深入地讨论自然对数。
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延伸阅读
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所有科学计算器都可以计算自然对数和以10为底的对数值,但是大多数计算器对其他对数却无能为力。不过,大家不用着急,因为我们可以很轻松地改变对数的底。如果知道某个对数的值,基本上也就知道了所有不同底的对数的值。具体来说,我们可以利用下面这个规则,依据以10为底的对数值得出以b为底的对数值。
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定理:对于任意正数x和y,都有:
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logbx=
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证明:令y= logbx,则by=x。两边取对数,即logby= logx。根据指数规则,我们可以得出ylogb= logx。也就是说,y=(logx) / (logb)。证明完毕。 □
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例如,对于任意x> 0,都有:
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lnx= (logx) / (log e) = (logx) / (0.434…) ≈ 2.30 logx
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log2x= (logx) / (log 2) = (logx) / (0.301…) ≈ 3.32 logx
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