1700999400
“指数规则”是另一个有用的特性。
1700999401
1700999402
定理：对于任意正数x和y，都有：
1700999403
1700999404
logxn=nlogx
1700999405
1700999406
证明：根据指数法则，abc= (ab)c。因此：
1700999407
1700999408
10nlogx= (10logx)n=xn
1700999409
1700999410
也就是说，xn的对数等于nlogx。 □
1700999411
1700999412
尽管以10为底的对数在化学和物理科学（如地质学）中的应用非常广泛，但是它本身并没有什么特别之处。在计算机科学与离散数学中，以2为底的对数受欢迎的程度更高。对于任意b> 0，以b为底的对数logb都要遵循下面这条规则：
1700999413
1700999414
如果by=x，那么y= logbx
1700999415
1700999416
例如，log232 = 5，因为25= 32。底为任意数字b时，前面讨论的对数属性都成立。例如：
1700999417
1700999418
blogbx=xlogbxy= logbx+ logbylogbxn=nlogbx
1700999419
1700999420
不过，在数学、物理学和工程学的大多数领域里，应用最广泛的还是以e为底的对数。这种对数叫作“自然对数”（natural logarithm），记作lnx。也就是说：
1700999421
1700999422
如果ey=x，那么y= lnx
1700999423
1700999424
或者说，对于任意实数x：
1700999425
1700999426
ln ex=x
1700999427
1700999428
例如，利用计算器就可以算出ln 5 = 1.609…，我们在前文中也算出e1.609≈ 5。在本书第11章，我们将更深入地讨论自然对数。
1700999429
1700999430
延伸阅读
1700999431
1700999432
所有科学计算器都可以计算自然对数和以10为底的对数值，但是大多数计算器对其他对数却无能为力。不过，大家不用着急，因为我们可以很轻松地改变对数的底。如果知道某个对数的值，基本上也就知道了所有不同底的对数的值。具体来说，我们可以利用下面这个规则，依据以10为底的对数值得出以b为底的对数值。
1700999433
1700999434
定理：对于任意正数x和y，都有：
1700999435
1700999436
1700999437
logbx=
1700999438
1700999439
证明：令y= logbx，则by=x。两边取对数，即logby= logx。根据指数规则，我们可以得出ylogb= logx。也就是说，y=(logx) / (logb)。证明完毕。 □
1700999440
1700999441
例如，对于任意x> 0，都有：
1700999442
1700999443
lnx= (logx) / (log e) = (logx) / (0.434…) ≈ 2.30 logx
1700999444
1700999445
log2x= (logx) / (log 2) = (logx) / (0.301…) ≈ 3.32 logx
1700999446
1700999447
1700999448
1700999449