1700999588
1700999589
1700999590
1700999591
1700999592
至此，我们就可以证明本章开头介绍的“上帝的公式”了。令θ= π弧度（或180°），就有：
1700999593
1700999594
eiπ= cosπ +isinπ = –1 +i(0) = –1
1700999595
1700999596
但是，欧拉定理并没有就此止步。我们在前面已经见过cosθ+isinθ这个表达式，它是复平面单位圆上的一个点，与x轴正方向的夹角为θ。如下图所示，欧拉定理指出，我们可以用一个非常简单的方式来表示这个点。
1700999597
1700999598
1700999599
1700999600
1700999601
欧拉定理指出，单位圆上的所有点都可以表示成eiθ的形式
1700999602
1700999603
惊喜还没有结束！欧拉定理指出，复平面上的所有点都与单位圆上的点成比例关系。具体来说，如果复数z的模为R，角为θ，那么这个点就是单位圆上对应点的R倍，即：
1700999604
1700999605
z=Reiθ
1700999606
1700999607
因此，如果复平面上有两个点z1=R1eiθ1和z2=R2eiθ2，那么根据指数法则（含有复数），我们可以得到：
1700999608
1700999609
z1z2=R1eiθ1R2eiθ2=R1R2ei(θ1+θ2)
1700999610
1700999611
上述结果表示的是一个模为R1R2、角为θ1+θ2的复数，我们再一次证明了复数的乘法运算法则：模相乘，角相加。我们在前文中证明这个定理的时候，用的是代数运算和三角恒等式，证明过程大约有一页纸的篇幅。现在，我们在用欧拉定理证明这个法则时，证明过程只有短短的一行字，因为我们有了e这个数字！
1700999612
1700999613
最后，我要仿照乔伊斯·基尔默（Joyce Kilmer）的诗作《树》，为我们拥有这个极其重要的数字赋诗一首。同时，我希望乔伊斯·基尔默不要介意我这样做。
1700999614
1700999615
我想我永远不会看到
1700999616
1700999617
比e更受人喜爱的数字。
1700999618
1700999619
这个数字永远写不完，
1700999620
1700999621
它是2.718 28…
1700999622
1700999623
它有如此神奇的特性，
1700999624
1700999625
深受人们喜爱（老师们更是额手称庆）。
1700999626
1700999627
e为我们创造了诸多便利条件
1700999628
1700999629
整数处理起来变得非常容易，
1700999630
1700999631
定理可以由像我这样的傻瓜来证明，
1700999632
1700999633
但e只能由欧拉来命名。
1700999634
1700999635
1700999636
1700999637