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m=
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在直线y= 2x+ 3上任取两点，例如(0, 3) 和 (4, 11)，那么连接这两点的直线斜率为m== (11 –3)/(4 – 0) = 8 / 4 = 2。计算结果与我们通过观察方程式得到的结果一致。
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接下来，我们考虑函数y=x2+ 1（如下图所示）。该函数图像不是一条直线，它的斜率一直在变化。请大家计算点 (1, 2)处切线的斜率。
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计算函数y=x2+ 1在点 (1, 2)处的切线斜率
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令我们感到头疼的是，我们需要知道两个点的坐标才能计算切线的斜率，但现在我们只知道一个点 (1, 2)。因此，如上图右侧所示，我们先考虑经过曲线上两点的直线（叫作“割线”），通过这条直线的斜率求出切线斜率的近似值。如果x= 1.5，则y=1.52+ 1 = 3.25。接下来，考虑连接点 (1, 2)与(1.5, 3.25) 的直线斜率。根据斜率公式，这条割线的斜率为：
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m==== 2.5
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利用割线斜率求出切线斜率的近似值
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为了更好地求出切线斜率的近似值，我们让第二个点向点 (1, 2) 靠近。例如，如果x= 1.1，则y= (1.1)2+ 1 = 2.21，于是新的割线斜率为m= (2.21 –2)/(1.1–1) = 2.1。从下表可以看出，随着第二个点不断靠近点 (1, 2)，割线斜率趋近于2。
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现在，令x =1 +h(h≠0 )，且与x= 1非常接近。那么，y=( 1+h)2+1 = 2h+h2。于是，这条割线的斜率为：
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随着h越来越接近0，割线的斜率也会不断地向2靠近。我们把这个现象表示成：
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它的意思是，当h趋近于0时，2 +h的极限值是2。凭直觉我们知道当h越来越接近0时，2 +h就会不断地向2靠近。由此我们发现，函数y=x2+ 1在点 (1, 2)处的切线斜率为2。
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接下来，我们讨论一般情况下的切线斜率。对于函数y=f(x)，我们希望找出点 [x,f(x)]处切线的斜率。如下图所示，经过点 [x,f(x)] 和其邻近点 [x+h,f(x+h)] 的割线斜率为：
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