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=f(x+h) [] + []g(x)
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当h趋近0时，上式就会变成f(x)g‘ (x) +f‘ (x)g(x)。证明完毕。 □
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函数积求导法则不仅可以用于计算，还可以帮助我们求出其他函数的导数。例如，我们在前文中证明当指数为正时，幂函数求导公式成立，现在我们可以证明当指数为分数和负数时，该公式也成立。
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例如，幂函数求导公式表明：
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我们现在用函数积求导法则来证明上述结果。假设，那么：
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对等式两边进行求导运算，根据函数积求导法则，我们可以得到：
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u(x)u‘ (x) +u‘ (x)u(x) = 1
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也就是说，2u(x)u‘ (x) = 1，因此，这同上述结果一致。
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延伸阅读
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如果幂函数求导公式还可以用于指数为负数的情况，那么根据该公式，y=x–n应该有导数y’= –nx–n–1=。为了证明这个结论，我们令u(x) =x–n，其中nH 1。根据定义，当x≠ 0时，有：
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u(x)xn=x–nxn=x0= 1
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运用函数积求导法则，对等于两边进行求导运算：
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u(x)(nxn–1) +u‘(x)xn= 0
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两边同时除以xn，并将等式左边的第一项移到等式右边，就会得到：
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u‘ (x) = –n=
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证明完毕。 □
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因此，如果y= 1 /x=x–1，那么y’= –1 /x2。
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如果y= 1 /x2=x–2，那么y’= –2x–3= –2 /x3。以此类推。
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在本书第7章，我们希望找到一个正数x，使函数y=x+ 1 /x的值最小。当时我们利用几何知识，巧妙地证明了x= 1满足条件。但是，有了微积分之后，我们就不再需要绞尽脑汁了。由y’= 0可知1– 1/x2= 0，所以满足这个方程式的唯一正数就是x= 1。
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三角函数求导也非常简单。注意，下面这条定理成立的条件是所有角必须用弧度来表示。