1701000270
上面这些神秘的公式以英国数学家布鲁克·泰勒（Brook Taylor，1685—1731）的名字命名，叫作“泰勒级数”。如果函数f(x) 有导数f‘(x)、f”(x)、f”’(x)等，那么在x取任意“十分接近”0的值时，都有：
1701000271
1701000272
1701000273
1701000274
1701000275
f(x) =f(0) +f‘(0)x+f”(0)+f”’(0)+f””(0)+ …
1701000276
1701000277
“十分接近”是什么意思？对于某些函数而言，例如ex、sinx和cosx，x的所有值都十分接近0。但我们以后会发现，对于某些函数而言，x的值必须非常小，泰勒级数才会十分接近函数值。
1701000278
1701000279
我们来看幂函数f(x)= ex的泰勒级数。由于ex就是它自身的一阶（二阶、三阶……）导数，因此：
1701000280
1701000281
f(0) =f‘(0)=f”(0) =f”’(0) = … = e0= 1
1701000282
1701000283
也就是说，ex的泰勒级数是1 +x+x2/2! +x3/3! +x4/4! + …，这与前面给出的结果一致。当x比较小时，我们只需计算为数不多的几项，就可以得出与确切答案非常接近的结果了。
1701000284
1701000285
我们用泰勒级数来计算存款的复利。在上一章，如果我们在银行里存1 000美元，年利率为5%，按连续复利的方式结算利息，那么到年底时，银行账户的金额就会变成1 000e0.05= 1 051.27美元。利用泰勒多项式得到的二阶近似值是：
1701000286
1701000287
1 000 [1 + 0.05 + (0.05)2/2!] = 1 051.25美元
1701000288
1701000289
三阶近似值是1 051.27美元。
1701000290
1701000291
下图是函数y= ex以及它的前三阶泰勒多项式的图像，以展现泰勒级数逼近函数值的效果。
1701000292
1701000293
1701000294
1701000295
1701000296
泰勒级数逼近y=ex的函数值
1701000297
1701000298
随着我们增加泰勒多项式的阶数，近似值会越来越接近函数值，在x取接近于0的值时，近似效果最好。泰勒多项式为什么有这样的作用呢？一阶逼近（亦称线性逼近）的意思是，对于接近0的任意x，都有：
1701000299
1701000300
f(x) ≈f(0) +f‘(0)x
1701000301
1701000302
这是一条经过点 [0,f(0)]的直线，斜率为f‘(0)。同理，我们可以证明，n阶泰勒多项式在点[0,f(0)]处的一阶导数、二阶导数、三阶导数直至n阶导数都与原函数f(x)相同。
1701000303
1701000304
延伸阅读
1701000305
1701000306
我们还可以通过x接近除0以外的其他数字，来定义泰勒多项式和泰勒级数。具体来说，函数f(x) 在基点a处的泰勒级数为：
1701000307
1701000308
1701000309
1701000310
1701000311
它与x= 0时的情况一样，对于十分接近a的x，无论x是实数还是复数，泰勒级数都等于f(x)。
1701000312
1701000313
接下来，我们来看函数f(x) = sinx的泰勒级数。再次提醒大家，f‘(x) = cosx，f”(x) = –sinx，f”’(x) = –cosx，f””(x) = sinx=f(x)。在x取0时，f(x)的n阶导数会从f(0)开始出现循环现象：0，1，0，–1，0，1，0，–1…。因此，x的所有偶数次幂都不会出现在泰勒级数中。也就是说，对于取任意值的x（单位为弧度），都有：
1701000314
1701000315
1701000316
1701000317
1701000318
sinx=x–+–+ …
1701000319