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1 000 [1 + 0.05 + (0.05)2/2!] = 1 051.25美元
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三阶近似值是1 051.27美元。
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下图是函数y= ex以及它的前三阶泰勒多项式的图像，以展现泰勒级数逼近函数值的效果。
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泰勒级数逼近y=ex的函数值
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随着我们增加泰勒多项式的阶数，近似值会越来越接近函数值，在x取接近于0的值时，近似效果最好。泰勒多项式为什么有这样的作用呢？一阶逼近（亦称线性逼近）的意思是，对于接近0的任意x，都有：
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f(x) ≈f(0) +f‘(0)x
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这是一条经过点 [0,f(0)]的直线，斜率为f‘(0)。同理，我们可以证明，n阶泰勒多项式在点[0,f(0)]处的一阶导数、二阶导数、三阶导数直至n阶导数都与原函数f(x)相同。
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延伸阅读
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我们还可以通过x接近除0以外的其他数字，来定义泰勒多项式和泰勒级数。具体来说，函数f(x) 在基点a处的泰勒级数为：
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它与x= 0时的情况一样，对于十分接近a的x，无论x是实数还是复数，泰勒级数都等于f(x)。
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接下来，我们来看函数f(x) = sinx的泰勒级数。再次提醒大家，f‘(x) = cosx，f”(x) = –sinx，f”’(x) = –cosx，f””(x) = sinx=f(x)。在x取0时，f(x)的n阶导数会从f(0)开始出现循环现象：0，1，0，–1，0，1，0，–1…。因此，x的所有偶数次幂都不会出现在泰勒级数中。也就是说，对于取任意值的x（单位为弧度），都有：
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sinx=x–+–+ …
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同理，当f(x) = cosx时，都有：
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cosx= 1 –+–+ …
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最后，我再举一例。在这个例子中，当x取某些值而不是所有值时，泰勒级数等于函数本身。我们来看函数f(x) == (1 –x)–1，f(0) = 1。根据链式法则，我们可以算出该函数的前几阶导数：
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f‘(x) = (–1) (1 –x)–2(–1) = (1 –x)–2
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f ”(x) = (–2)(1 –x)–3(–1) = 2(1 –x)–3
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f ”’(x) = (–6)(1 –x)–4(–1) = 3!(1 –x)–4
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