打字猴:1.70100028e+09

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1701000281 f(0) =f‘(0)=f”(0) =f”’(0) = … = e0= 1

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1701000283 也就是说，ex的泰勒级数是1 +x+x2/2! +x3/3! +x4/4! + …，这与前面给出的结果一致。当x比较小时，我们只需计算为数不多的几项，就可以得出与确切答案非常接近的结果了。

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1701000285 我们用泰勒级数来计算存款的复利。在上一章，如果我们在银行里存1 000美元，年利率为5%，按连续复利的方式结算利息，那么到年底时，银行账户的金额就会变成1 000e0.05= 1 051.27美元。利用泰勒多项式得到的二阶近似值是：

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1701000287 1 000 [1 + 0.05 + (0.05)2/2!] = 1 051.25美元

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1701000289 三阶近似值是1 051.27美元。

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1701000291 下图是函数y= ex以及它的前三阶泰勒多项式的图像，以展现泰勒级数逼近函数值的效果。

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1701000296 泰勒级数逼近y=ex的函数值

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1701000298 随着我们增加泰勒多项式的阶数，近似值会越来越接近函数值，在x取接近于0的值时，近似效果最好。泰勒多项式为什么有这样的作用呢？一阶逼近（亦称线性逼近）的意思是，对于接近0的任意x，都有：

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1701000300 f(x) ≈f(0) +f‘(0)x

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1701000302 这是一条经过点 [0,f(0)]的直线，斜率为f‘(0)。同理，我们可以证明，n阶泰勒多项式在点[0,f(0)]处的一阶导数、二阶导数、三阶导数直至n阶导数都与原函数f(x)相同。

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1701000304 延伸阅读

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1701000306 我们还可以通过x接近除0以外的其他数字，来定义泰勒多项式和泰勒级数。具体来说，函数f(x) 在基点a处的泰勒级数为：

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1701000311 它与x= 0时的情况一样，对于十分接近a的x，无论x是实数还是复数，泰勒级数都等于f(x)。

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1701000313 接下来，我们来看函数f(x) = sinx的泰勒级数。再次提醒大家，f‘(x) = cosx，f”(x) = –sinx，f”’(x) = –cosx，f””(x) = sinx=f(x)。在x取0时，f(x)的n阶导数会从f(0)开始出现循环现象：0，1，0，–1，0，1，0，–1…。因此，x的所有偶数次幂都不会出现在泰勒级数中。也就是说，对于取任意值的x（单位为弧度），都有：

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