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f(x) ≈f(0) +f‘(0)x
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这是一条经过点 [0,f(0)]的直线，斜率为f‘(0)。同理，我们可以证明，n阶泰勒多项式在点[0,f(0)]处的一阶导数、二阶导数、三阶导数直至n阶导数都与原函数f(x)相同。
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延伸阅读
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我们还可以通过x接近除0以外的其他数字，来定义泰勒多项式和泰勒级数。具体来说，函数f(x) 在基点a处的泰勒级数为：
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它与x= 0时的情况一样，对于十分接近a的x，无论x是实数还是复数，泰勒级数都等于f(x)。
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接下来，我们来看函数f(x) = sinx的泰勒级数。再次提醒大家，f‘(x) = cosx，f”(x) = –sinx，f”’(x) = –cosx，f””(x) = sinx=f(x)。在x取0时，f(x)的n阶导数会从f(0)开始出现循环现象：0，1，0，–1，0，1，0，–1…。因此，x的所有偶数次幂都不会出现在泰勒级数中。也就是说，对于取任意值的x（单位为弧度），都有：
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sinx=x–+–+ …
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同理，当f(x) = cosx时，都有：
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cosx= 1 –+–+ …
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最后，我再举一例。在这个例子中，当x取某些值而不是所有值时，泰勒级数等于函数本身。我们来看函数f(x) == (1 –x)–1，f(0) = 1。根据链式法则，我们可以算出该函数的前几阶导数：
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f‘(x) = (–1) (1 –x)–2(–1) = (1 –x)–2
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f ”(x) = (–2)(1 –x)–3(–1) = 2(1 –x)–3
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f ”’(x) = (–6)(1 –x)–4(–1) = 3!(1 –x)–4
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f ””(x) = (–4!)(1 –x)–5(–1) = 4!(1 –x)–5
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按照这个规律（或者使用归纳性证明法），就会发现 (1 –x)–1的n阶导数为n! (1 –x)–(n+1)。当x= 0时，该n阶导数就是n!。也就是说，根据泰勒级数，我们可以得出：
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= 1 +x+x2+x3+x4+ …
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但是，这个等式只在x取–1到1之间的值时才成立。例如，如果x大于1，右边各项的值会越来越大，它的和无法确定。
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我们将在下一章继续讨论泰勒级数。大家可能会想，把无穷多个数字加在一起，到底有什么意义呢？如何能求出它们的和呢？你有这样的想法很正常。在研究无穷大的本质时，我会尝试回答这个问题。与此同时，你还将接触到大量你意想不到、让你困惑、无法凭直觉理解但又充满美感的内容。
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[1]1立方英寸≈16.387立方厘米。——编者注
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