1701000480
1701000481
1701000482
1701000483
1701000484
表中给出的部分和似乎表明，对于nH 0，有：
1701000485
1701000486
1701000487
1701000488
1701000489
1701000490
1701000491
1 +++… += 2 –
1701000492
1701000493
我们可以通过归纳性证明法（参见本书第6章）验证上述结论，也可以把它视为下面给出的有穷等比数列求和公式的一个特例。
1701000494
1701000495
定理（有穷等比数列）：对于x≠ 1且nH 0，有：
1701000496
1701000497
1701000498
1 +x+x2+x3+ … +xn=
1701000499
1701000500
1701000501
证明方法1：这条定理可以按照以下方式，利用归纳性证明法来验证。当n= 0时，该公式可以简化为1 =，这个等式毫无疑问是成立的。现在，我们假设当n=k时公式成立，就有：
1701000502
1701000503
1701000504
1 +x+x2+x3+ … +xk=
1701000505
1701000506
当n=k+ 1时，即在上式左右两边同时加上xk+1，就会得到：
1701000507
1701000508
1701000509
1 +x+x2+x3+ … +xk+xk+1=+xk+1
1701000510
1701000511
1701000512
1701000513
=+
1701000514
1701000515
1701000516
=
1701000517
1701000518
1701000519
=
1701000520
1701000521
也就是说，当n=k+ 1时，公式仍然成立。证明完毕。 □
1701000522
1701000523
或者，我们也可以采用下面这种代数证明法。
1701000524
1701000525
证明方法2：令
1701000526
1701000527
S= 1 +x+x2+x3+ … +xn
1701000528
1701000529
两边同时乘以x，就会得到：