打字猴:1.7010004e+09
1701000400 我们把所有正数的和定义为“无穷大”,记作:
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1701000402 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … = ∞
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1701000404 它的意思是,这个和将不断增加,没有上限。换句话说,这个和最终将超过你能想到的所有数字: 100、100万、1015,或者其他大数。不过,在本章结尾部分,我们将看到有人可以证明:
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1701000407 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … =
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1701000409 你是不是觉得很奇怪?我希望如此!一旦走进无穷大这个光怪陆离的领域,你就会发现各种各样稀奇古怪的现象。数学之所以引人入胜、充满乐趣,这也是其中一个原因。
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1701000411 无穷大是不是一个数字呢?尽管我们有时候把它当作一个数字,但实际上它并不是数字。粗略地说,数学界可能会这样理解无穷大的概念:
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1701000414 ∞+ 1 =∞ ∞+∞ =∞ 5×∞= ∞= 0
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1701000416 从技术上讲,最大的数字是不存在的,因为我们总是可以加上1,得到一个更大的数字。从本质上讲,∞这个符号的意思是“任意大”,或者说大于所有正数。同理,–∞的意思是这个数字比所有负数都小。顺便告诉大家,∞–∞(无穷大减去无穷大)和1/0都无解。大家可能会认为1/0 =∞,因为1被越来越小的数除,商应该越来越大。但是,如果我们用越来越接近0的负数去除1,商就会朝着负数的方向渐行渐远。
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1701000421 12堂魔力数学课 [:1700993772]
1701000422 12堂魔力数学课 等比数列和喝啤酒的数学家
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1701000424 先来思考一个数学界普遍认可,但大多数人第一眼见到时都觉得不正确的命题:
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1701000426 0.999 99… = 1
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1701000428 所有人都承认这两个数字非常接近,也可以说是无比接近,但很多人仍然认为不应该把它们视为同一个数。下面,我将提供不同的证据,证明这两个数字其实相等。我希望其中至少有一个解释可以让你感到满意。
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1701000430 如果大家认为下面这个等式成立
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1701000433 = 0.333 33…
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1701000435 那么,最简便的证明方法可能就是在上式两边同时乘以3,然后得到:
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1701000438 1 == 0.999 99…
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1701000440 第二种证明方法是本书第6章用过的循环小数计算方法。我们用变量w来表示无穷小数展开式:
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1701000442 w= 0.999 99…
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1701000444 在等式两边同时乘以10,就会得到:
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1701000446 10w= 9.999 99…
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1701000448 再用第二个等式减去第一个等式:
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