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也就是说，当n=k+ 1时，公式仍然成立。证明完毕。 □
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或者，我们也可以采用下面这种代数证明法。
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证明方法2：令
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S= 1 +x+x2+x3+ … +xn
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两边同时乘以x，就会得到：
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xS=x+x2+x3+ … +xn+xn+1
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用第一个等式减去第二个等式，可以消去很多项，得到：
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S–xS= 1 –xn+1
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也就是说，S(1–x) = 1 –xn+1，即S=。
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请大家注意，当x= 1/2时，有穷等比数列的和与我们前文中发现的规律一致：
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当n不断增大时，(1/2)n将会趋近于0。因此，当n→ ∞时，就有：
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延伸阅读
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跟大家讲一个只有数学界人士才会觉得有趣的笑话。一大群数学家走进一间酒吧。第一个人说：“我要一杯啤酒。”第二个人说：“我要半杯啤酒。”第三个人说：“我要1/4杯啤酒。”第四个人说：“我要1/8杯啤酒。”酒吧招待一边给他们递来两杯啤酒，一边大声说道：“我知道你们的极限！”
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一般地，对于任意一个–1~1之间的数字而言，如果不断增加它的幂，它就会越来越趋近0。由此，我们便有了非常重要的（无穷）等比数列。
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定理（等比数列）：对于 –1
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1 +x+x2+x3+x4+ … =
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令x= 1/2，就可以用等比数列解决上面的最后一个问题：
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1 +++++ … == 2
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