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正整数有无穷多个：
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1，2，3，4，5…
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正偶数也有无穷多个：
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2，4，6，8，10…
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数学家说，正整数集与正偶数集的大小（或者叫作基数、无穷大阶数）是相同的，因为这两个集合可以形成一一对应的关系：
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可以与正整数集形成一一对应关系的集合叫作“可列集”，可列集的无穷大阶数最低。元素可以一一排序的集合都是可列集，因为在排列时，第一个元素对应1，第二个元素对应2，以此类推。
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包含所有整数的集无法按照由小到大的顺序一一排列（哪个数字应该排在第一位？）：
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…–3，–2，–1，0，1，2，3…
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但是，这些数字可以下面这种方式排列：
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0，1，–1，2，–2，3，–3…
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也就是说，整数集是可列集，它的大小与正整数集相同。
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正有理数集呢？该集合的所有元素都是m/n形式的数字，其中m和n是正整数。也许你不相信，但正有理数集确实是可列集，因为它的元素可以按照下面这种方式排列：
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，，，，，，，，，…
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在排列时，我们按照分子、分母的和来确定各个元素的先后次序。由于这个排列方式可将所有有理数都涵盖在内，因此正有理数集也是可列集。
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是否存在不是可列集的无穷数字集呢？德国数学家格奥尔格·康托尔（Georg Cantor，1845~1918）证明，0~1之间的所有实数构成的集合是不可列集。你也许想按照下列方式或者其他类似方式来列举这些实数：
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0.1，0.2，…，0.9，0.01，0.02，…，0.99，0.001，0.002，… 0.999，…
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但是，只有那些位数有限的数字才会被列举出来，而像1/3 =0.333…这样的数字永远也不会出现。是不是可以想出更有创意的办法，列举出所有实数呢？康托尔通过以下方法证明这是不可能做到的。他先假设实数可以一一排列，然后他给出了一个具体的例子，比如这个排列的前几个元素是：