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但是，这句话反过来说却不成立。即使各项都趋近0，级数本身仍然有可能是发散的。这方面的一个重要实例就是“调和级数”（harmonic series）。调和级数之所以得此名称，是因为古希腊人发现，如果琴弦长度与1、1/2、1/3、1/4、1/5…成比例关系，就可以弹奏出悦耳动听的音乐。
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定理：对于调和级数，有：
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1701000720
1701000721
1701000722
1701000723
1701000724
1 +++++ … = ∞
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证明：要证明调和级数的和为无穷大，就需要证明它的和可以是任意大的数字。我们先根据分母，将各项分到不同的组中。可以看出，调和级数的前9项都大于1/10，因此：
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1701000728
1701000729
1701000730
1701000731
1701000732
1701000733
1701000734
1701000735
1701000736
1701000737
1 ++++++++>
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1701000739
接下来的90项都大于1/100，因此：
1701000740
1701000741
1701000742
1701000743
1701000744
1701000745
1701000746
1701000747
+++ … +> 90×=
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同理，再接下来的900项都大于1/1 000，因此：
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1701000751
1701000752
1701000753
1701000754
1701000755
1701000756
1701000757
+++ … +>=
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1701000759
之后还有：
1701000760
1701000761
1701000762
1701000763
1701000764
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