1701000848
1701000849
1701000850
1701000851
1701000852
事实上，我们利用积分就可以证明对于任意的p> 1，1 ++++ …都会收敛于某个小于的数。例如，如果p= 1.01，那么下式的各项都会略微小于调和级数的各项。但是，即便如此，它也是一个收敛级数。
1701000853
1701000854
1701000855
1701000856
1701000857
1 ++++ … ＜101
1701000858
1701000859
1701000860
1701000861
1701000862
1701000863
1701000864
1701000865
假设我们从调和级数中删掉所有包含9的项，会有什么结果呢？可以证明，在这种情况下，这个级数的和不是无穷大（它肯定收敛于某个数字）。在证明时，我们根据分母的长度把不含有9的项分别相加。例如，我们先计算分母只有一位数的8个分数（,,,…,）之和。分母是两位数且不包含9的项一共有8×9 = 72个，这是因为第一位数有8种选择（不能是0或9），第二位数有9种选择。同理，分母是三位数且不包含9的项有8×9×9个。一般地，分母是n位数且不包含9的项有8×9n–1个。注意，分母是一位数的最大分数是1，分母是两位数的最大分数是，分母是三位数的最大分数是。因此，我们可以将这个无穷级数按照以下方式分成几组：
1701000866
1701000867
1701000868
1701000869
1701000870
1701000871
1701000872
1701000873
1701000874
1 +++++++＜ 8
1701000875
1701000876
1701000877
1701000878
1701000879
1701000880
1701000881
1701000882
+++ … +＜ ( 8×9) ×= 8 ()
1701000883
1701000884
1701000885
1701000886
1701000887
1701000888
1701000889
1701000890
+++ … +＜ ( 8×92) ×= 8 ()2
1701000891
1701000892
以此类推，根据等比数列公式，所有数字的和最多为：
1701000893
1701000894
1701000895
1701000896
1701000897
