1701000960
1701000961
1701000962
1701000963
1701000964
现在，求等式两边的反导数（微积分学称之为“不定积分”）。不定积分是求导的逆运算，例如，x2的导数是2x，反过来，2x的不定积分是x2。[x2+ 5，x2+ π或x2+c（c为任意数）的导数同样是2x，所以2x的不定积分其实是x2+c。]1，x，x2，x3，x4…的不定积分分别是x，x2/2，x3/3，x4/4，x5/5…；1/(1 +x)的不定积分是1 +x的自然对数。也就是说，对于 –1
1701000965
1701000966
1701000967
1701000968
1701000969
1701000970
x–+–+– … = ln(1 +x)
1701000971
1701000972
等式左边的常数项为0，这是因为当x= 0时，我们希望右边的值为ln 1 = 0。当x逐渐接近1时，我们就会发现0.693 147…的自然含义，即：
1701000973
1701000974
1701000975
1701000976
1701000977
1701000978
1701000979
1 –+–+–+ … = ln 2
1701000980
1701000981
延伸阅读
1701000982
1701000983
如果我们将等比数列中的x替换成 –x2，当x在 –1~ 1之间时，就有：
1701000984
1701000985
1701000986
1 –x2+x4–x6+x8– … =
1701000987
1701000988
1701000989
大多数微积分教科书都会证明y= arc tanx的导数为y’=。对等式两边同时求不定积分（注意，arc tan 0 = 0），就会得到：
1701000990
1701000991
1701000992
1701000993
1701000994
1701000995
x –+–+– … = arc tanx
1701000996
1701000997
令x趋近0，就会得到：
1701000998
1701000999
1701001000
1701001001
1701001002
1701001003
1701001004
1701001005
1 –+–+–+ … = arc tan 1 =
1701001006
1701001007
在研究了等比数列的应用之后，我们接下来讨论等比数列在应用过程中容易出现的错误。等比数列的定义指出，对于任意x，只要 –1
1701001008
1701001009
