现在,求等式两边的反导数(微积分学称之为“不定积分”)。不定积分是求导的逆运算,例如,x2的导数是2x,反过来,2x的不定积分是x2。[x2+ 5,x2+ π或x2+c(c为任意数)的导数同样是2x,所以2x的不定积分其实是x2+c。]1,x,x2,x3,x4…的不定积分分别是x,x2/2,x3/3,x4/4,x5/5…;1/(1 +x)的不定积分是1 +x的自然对数。也就是说,对于 –1
1701000965
1701000966
1701000967
1701000968
1701000969
1701000970
x–+–+– … = ln(1 +x)
1701000971
1701000972
等式左边的常数项为0,这是因为当x= 0时,我们希望右边的值为ln 1 = 0。当x逐渐接近1时,我们就会发现0.693 147…的自然含义,即:
1701000973
1701000974
1701000975
1701000976
1701000977
1701000978
1701000979
1 –+–+–+ … = ln 2
1701000980
1701000981
延伸阅读
1701000982
1701000983
如果我们将等比数列中的x替换成 –x2,当x在 –1~ 1之间时,就有:
1701000984
1701000985
1701000986
1 –x2+x4–x6+x8– … =
1701000987
1701000988
1701000989
大多数微积分教科书都会证明y= arc tanx的导数为y’=。对等式两边同时求不定积分(注意,arc tan 0 = 0),就会得到:
1701000990
1701000991
1701000992
1701000993
1701000994
1701000995
x –+–+– … = arc tanx
1701000996
1701000997
令x趋近0,就会得到:
1701000998
1701000999
1701001000
1701001001
1701001002
1701001003
1701001004
1701001005
1 –+–+–+ … = arc tan 1 =
1701001006
1701001007
在研究了等比数列的应用之后,我们接下来讨论等比数列在应用过程中容易出现的错误。等比数列的定义指出,对于任意x,只要 –1
1701001008
1701001009
[
上一页 ]
[ :1.70100096e+09 ]
[
下一页 ]