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1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … =
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在证明有穷等比数列和的时候，我们在第二种证法里使用了代数的移项法。现在，我们用同样的方法来“证明”上式。这种方法适用于有穷级数求和，如果应用于无穷级数求和，就可能导致荒谬的结果。我们先用代数的移项法来解释前文中的一个恒等式。我们按下列方式把这个等式写两遍，但在写第二遍时每项向后移动一个位置：
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S= 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + …
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S= – 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – …
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将两个等式相加，可以得到：
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2S= 1
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因此，S= 1/2。这跟我们在前文中令x= –1时根据等比数列公式得到的结果一致。
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延伸阅读
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利用代数移项法，我们可以轻而易举地证明等比数列公式，不过证明过程不太严谨。
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S= 1 +x+x2+x3+x4+x5+ …
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xS=x+x2+x3+x4+x5+ …
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两式相减，就会得到：
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S(1 –x) = 1
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S=
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如果把我们最渴望知道答案的无穷级数求和问题变成一个正负项交错排列的形式，就会得出一个非常有趣的答案：
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1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + 7 – 8 + … =
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下面，我们用移项法来证明这个结论。先把等式写两遍：
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T= 1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + 7 – 8 + …
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T= 1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + 7 – …
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两式相加，就会得到：
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2T= 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + …
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也就是说，2T=S= 1/2。所以，T= 1/4。证明完毕。
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最后，我们再做一个实验。把所有正整数的和记作U，然后在它的下面列出T的算式（不用移位）。
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