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1 –+–+–+ …
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改变这些数字的先后次序，它的和应该不会发生变化，因为根据加法交换律，对于任意数字A和数字B，都有：
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A+B=B+A
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但是，如果把这些数字按照下面这种次序重新排列，会出现什么结果呢？
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1 ––+––+––+ …
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注意，加在一起的还是那些数字，因为所有分母为奇数的数字都带有正号，所有分母为偶数的数字都带有负号。尽管算式中偶数的出现频率是奇数的两倍，但无论奇数还是偶数都用之不竭，而且原算式中的所有项在新算式中都只出现一次。大家对此没有异议吧？那么，请大家算出这个和：
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结果我们发现它竟然是原无穷和的一半！怎么会出现这种情况呢？把各项数字重新排列，计算结果竟然变得不一样了。之所以出现这个令人惊讶的结果，是因为在无穷多个数字相加时不可以使用加法交换律。
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如果收敛级数中的正数项和负数项分别构成发散级数（也就是说，正数项的和为∞，负数项的和为–∞），就会出现这样的问题。我们给出的最后一个例子就是这种情况。这样的级数被称为“条件收敛级数”。令人吃惊的是，对条件收敛级数重新排序，可以得出我们想要得到的任意结果。比如，如何排列上面这个级数，让它最后的得数为42呢？首先，让正数项相加，使它们的和刚好超过42，然后减去第一个负数项。再加上一个正数项，使和再次超过42，然后减去第二个负数项。重复上述步骤，最终的和就会越来越接近42。（比如，减去第5个负数项 –1/10之后的计算结果，与42的差会始终保持在0.1以下。减去第50个负数项 –1/100后的计算结果与42的差会始终保持在0.01以下，以此类推。）
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我们在实践中遇到的无穷级数大多不会表现出这种奇怪的特性。如果某个无穷级数的所有项在取绝对值（将负数项全部变成正数项）之后具有收敛性，我们就称这是一个“绝对收敛级数”。例如，我们在前文中见过的交错级数：
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1 –+–+– … =
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它就是一个绝对收敛级数，因为各项的绝对值相加可以得到一个我们非常熟悉的收敛级数：
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1 +++++ … = 2
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绝对收敛级数虽然有无穷多项，但它们可以应用加法交换律。因此，在上面那个交错级数中，无论我们如何打乱1、–1/2、1/4、–1/8等项的先后次序，它们的和一定收敛于2/3。
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无穷级数可以无休止地写下去，但是写作总有结束的一天，我也必须遵从这个规律。现在，我似乎应该跟大家说再见了，但是，我仍然希望把握最后的机会，继续带领大家遨游数学的魔法王国。
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