1701001120
1701001121
1701001122
1701001123
1701001124
1701001125
1 –+–+–+ …
1701001126
1701001127
改变这些数字的先后次序，它的和应该不会发生变化，因为根据加法交换律，对于任意数字A和数字B，都有：
1701001128
1701001129
A+B=B+A
1701001130
1701001131
但是，如果把这些数字按照下面这种次序重新排列，会出现什么结果呢？
1701001132
1701001133
1701001134
1701001135
1701001136
1701001137
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1701001139
1701001140
1701001141
1 ––+––+––+ …
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1701001143
注意，加在一起的还是那些数字，因为所有分母为奇数的数字都带有正号，所有分母为偶数的数字都带有负号。尽管算式中偶数的出现频率是奇数的两倍，但无论奇数还是偶数都用之不竭，而且原算式中的所有项在新算式中都只出现一次。大家对此没有异议吧？那么，请大家算出这个和：
1701001144
1701001145
1701001146
1701001147
1701001148
结果我们发现它竟然是原无穷和的一半！怎么会出现这种情况呢？把各项数字重新排列，计算结果竟然变得不一样了。之所以出现这个令人惊讶的结果，是因为在无穷多个数字相加时不可以使用加法交换律。
1701001149
1701001150
如果收敛级数中的正数项和负数项分别构成发散级数（也就是说，正数项的和为∞，负数项的和为–∞），就会出现这样的问题。我们给出的最后一个例子就是这种情况。这样的级数被称为“条件收敛级数”。令人吃惊的是，对条件收敛级数重新排序，可以得出我们想要得到的任意结果。比如，如何排列上面这个级数，让它最后的得数为42呢？首先，让正数项相加，使它们的和刚好超过42，然后减去第一个负数项。再加上一个正数项，使和再次超过42，然后减去第二个负数项。重复上述步骤，最终的和就会越来越接近42。（比如，减去第5个负数项 –1/10之后的计算结果，与42的差会始终保持在0.1以下。减去第50个负数项 –1/100后的计算结果与42的差会始终保持在0.01以下，以此类推。）
1701001151
1701001152
我们在实践中遇到的无穷级数大多不会表现出这种奇怪的特性。如果某个无穷级数的所有项在取绝对值（将负数项全部变成正数项）之后具有收敛性，我们就称这是一个“绝对收敛级数”。例如，我们在前文中见过的交错级数：
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1701001154
1701001155
1701001156
1701001157
1701001158
1701001159
1 –+–+– … =
1701001160
1701001161
它就是一个绝对收敛级数，因为各项的绝对值相加可以得到一个我们非常熟悉的收敛级数：
1701001162
1701001163
1701001164
1701001165
1701001166
1701001167
1 +++++ … = 2
1701001168
1701001169
绝对收敛级数虽然有无穷多项，但它们可以应用加法交换律。因此，在上面那个交错级数中，无论我们如何打乱1、–1/2、1/4、–1/8等项的先后次序，它们的和一定收敛于2/3。