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经过分析可以看出，前5幅关系图都是不均衡、不稳定的关系图，因为每幅图中至少有一个三角形是不均衡的。为了解决相互关系中的不均衡性，这6个国家不断地重新结盟或关系破裂，但每次的变化又造成了关系网中新的不均衡性。最终，在第6幅图中，欧洲分裂成了两个势不两立的敌对阵营，这样的关系网络在理论上是稳定的，但两大阵营的敌对关系最终把整个欧洲拖进了战争的深渊。
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举这个例子，并不是为了说明关系网络的模型有多么强大的预测能力，事实上，这种模型的预测能力并不强大，稳定的关系网也不能避免战争的发生。在这里，我想说明的是，这些复杂的国际关系变化在很大程度上都基于一个非常简单的道理：“我的敌人的敌人就是我的朋友”，而这个道理其实就是乘法运算中最基本的“负负得正”法则。只要能从纷繁复杂的表象中提炼出事物的抽象本质，负数运算这种看似与现实世界关系不大的数学技巧，其实可以帮助我们解开很多现实生活中的难题，看清很多现象背后的必然趋势。
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X的奇幻之旅：在现实生活中发现数学思维之美 [:1701001354]
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X的奇幻之旅：在现实生活中发现数学思维之美 第4章 交换律：7×3与3×7都等于21
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儿童的数学教育方法就像国际形势一般充满变数，差不多每过10年的时间，就会出版新的教材和出现新的教学方法。这些变化的结果就是，每一代父母都在儿女的数学教材面前一筹莫展。20世纪60年代，我的父母就受到了这样的打击，他们惊讶地发现自己竟然无力辅导我小学二年级的数学功课，因为他们从没学过对数，也完全没听说过维恩图这种东西。
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现在，轮到我面对这样的难题了。“爸爸，你可以告诉我怎么做这道乘法题吗？”我心想：“当然没问题，不管怎么说我也是大学数学教授。”但是，没过一分钟，我的女儿就开始抗议了：“爸爸，老师不是这么教的啊，你那是老式的算法了。你难道不知道‘格子乘法’吗？那‘部分乘积’你总该知道吧？”
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这些打击人自信心的情形一再发生，这促使我重新考虑乘法最基本、最原始的意义。虽然乘法看似是很简单、很自然的运算，但仔细想想，其中还真有不少微妙的地方。
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就说乘法代表的意思，7×3到底是指“3个7相加”，还是“7个3相加”呢？
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在某些文化和某些语言中，这个问题表述得会比较清楚。我有一个来自伯利兹的朋友，他是这样背诵乘法口诀表的：“1乘以7得7，2乘以7得14，3乘以7得21……”他的这种方法很清楚地解决了上一节中提出的问题，在每个算式中，第一个数字是乘数，第二个数字是被乘数。莱昂纳尔·里奇的经典歌曲的歌词“你是我一辈子、两辈子、三辈子的恋人”里也同样沿用了这种方法。（如果歌词是“你是我恋人的三辈子”，这歌准红不了！）
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可能你会觉得我说了这么多话，完全是废话，哪个是乘数、哪个是被乘数有区别吗？3×7和7×3难道得出的不是同一个结果吗？你说得也没错。但是，我之所以提出这个问题，是因为我想在此深入地讨论一个较为抽象的问题：乘法的交换律真的是这么明显吗？a×b=b×a真的是理所当然的吗？我记得我在小时候第一次学到乘法交换律的时候，觉得十分吃惊，你是不是也跟我一样呢？
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为了体验乘法交换律的神奇之处，让我们先假装自己并不知道3×7等于7×3。我们先来计算3个7的结果是多少：背一下乘法口诀表，一七得七，二七十四，三七二十一，我们知道答案是21。我们再来计算一下7个3的结果是多少：一三得三，二三得六，三三得九……你不觉得有点儿奇怪，这些数字与7的乘法口诀表里的数字一点儿都不一样！然后我们继续背下去……四三十二，五三十五，六三十八，然后，哈，七三二十一！
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通过上面的一段描述，我想说明这样一个问题：如果你把乘法运算看作多次加法（即在一个数字上加上同一个数字，反复多次），那么乘法的交换律并不是显而易见的。
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但是，如果我们借助一些视觉上的帮助，这个问题就清楚多了。我们不妨把7×3想象成一个长方形的矩阵，每行有3个小点，一共有7行，如下图所示。
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只要把这个矩阵水平旋转90度，这个7行3列的矩阵就变成了一个3行7列的矩阵。显然，把一个矩阵水平旋转90度并不会改变矩阵中小点的数量，所以3×7等于7×3。
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乘法交换律看似简单，但是在日常生活中，人们却常常忘记这一定律。尤其是当我们进行和金钱有关的计算时，大家常常忘记了乘法交换律，或是一时反应不过来。我来给大家举两个例子。
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假设你在商场准备买一条新牛仔裤。牛仔裤的标价是50美元，现在购买可以享受8折优惠。这个折扣价格还是挺有吸引力的，但是在美国购物需要缴纳消费税，消费税是商品价格的8%。如果你有意购买这条牛仔裤，店员就会非常热情地恭维你：呀，这条裤子真是太适合你了，你看多合身啊，穿着多显身材啊。说完这些话以后，店员就开始扫描价签帮你结账，在这个过程中，这个店员突然停下来，神神秘秘地说：“我再给你打个折吧，我先在原价的基础上算消费税，然后再给你打8折，这样的话就能帮你多省几元钱，你认为怎么样？”
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这个店员真是热情。不过，你听完她说的话总觉得哪里有点儿不对劲。于是，你回答说：“谢谢，不用了。你还是先给我8折优惠，再计算消费税吧，这样我应该能少付点消费税。”
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我来问你：这两种算法，到底哪一种比较省钱呢？（假设两种算法都不违反消费税法规。）
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面对这样的问题，很多人一时反应不过来。他们会用加法来解决这个问题，先算出税款和折扣额，再从总价里减去折扣额，加上税款，得到最后应付的价格。按照店员的算法，牛仔裤原价为50美元，8%的消费税就是4美元，税后总价为54美元。然后，店员给顾客8折优惠，54美元的20%是10.80美元。54美元减去10.80美元，最后应付43.20美元。而按照顾客的算法，先按照原价打8折，即50美元的折后价为40美元，然后40美元的8%是3.20美元，最后应付金额是40美元加上3.20美元，仍然是43.20美元。
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原来两种算法的结果是一样的，真是神奇！
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但实际上，我们根本没必要进行这么复杂的计算，只需使用乘法交换律就可以解决这一问题。速算的关键是用乘法代替加法。按照店员的算法，先加8%的消费税，再打8折，也就是原价乘以1.08，然后再乘以0.8。而顾客的算法则是先打8折再加消费税，也就是原价乘以0.8，然后再乘以1.08。因为乘法交换律的缘故，1.08×0.8=0.8×1.08，所以，这两种算法的实付金额显然是没有差别的。