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为什么我们会有意无意地忽视或抵制乘法交换律呢？也许是因为在我们的日常生活中，做事的顺序往往比较重要，先做还是后做的结果往往不同。你不能先吃蛋糕然后再去买蛋糕；你也不可能先脱袜子，然后再脱鞋子。
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著名的物理学家穆雷·盖尔曼对交换律有着十分“独特”的认识。这位十分成功的科学家在年轻时也曾为自己的未来担忧。当时，盖尔曼即将从耶鲁大学毕业，准备进入研究生院深造。盖尔曼对学校的品牌十分在意，他认为自己必须在常春藤盟校继续攻读博士学位。遗憾的是，普林斯顿大学的研究生院没有录取盖尔曼，虽然哈佛大学录取了他，却迟迟不肯给他发奖学金或助学金。当时，盖尔曼最好的选择就是去麻省理工学院攻读博士学位，他为此感到极度沮丧，因为在盖尔曼的心目中，麻省理工学院只不过是一所脏兮兮的技术类学院，根本不符合他高贵的品位。最后，盖尔曼还是接受了麻省理工学院的录取通知，去那里继续完成学业。多年以后，当谈起自己当年的选择，盖尔曼声称，当时自己甚至考虑过自杀。他表示，之所以放弃了自杀的念头，是因为他意识到去麻省理工学院读书和自杀两件事是不服从交换律的：去麻省理工学院读书并不妨碍他日后自杀，但如果自杀了就不能再去麻省理工学院读书了。既然日后如有需要时仍可以选择自杀，不妨先去麻省理工学院读书。
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对于不可交换律的重要性，盖尔曼是十分敏感的。我相信，作为一名量子物理学家，盖尔曼在日后的学习和工作中一定对不可交换律有着更为深刻的理解：很多时候，自然界就是不服从交换律的。而且，这绝对是一件好事。正是因为有了不可交换律，世界才能是我们今天看到的样子。如果任何事物都服从交换律，物质就不可能是固态的，原子也会自动毁灭。
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在量子力学发展的初期阶段，维尔纳·海森堡和保罗·狄拉克发现了一条和我们平常的直觉认识极不相符的重要定律。如果我们用p表示一个粒子的动量，用q表示这个粒子的位置，那么，出乎人类意料的是，在自然界中，p×q≠q×p。这条定律就是著名的海森堡测不准原理。如果自然界没有这种奇妙的不可交换律，原子就会毁灭，万事万物，包括我们人类也都不可能存在。
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所以，我们每个人都应该注意自己的p和q，并且把这个道理教给我们的孩子。
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X的奇幻之旅：在现实生活中发现数学思维之美 [:1701001355]
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X的奇幻之旅：在现实生活中发现数学思维之美 第5章 无理数：除法带给我们的困惑
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其实，算术这个学科有一条自带的评论音轨，告诉我们算术的本质和目的到底是什么。可惜的是，大部分学习数学的人都忙于研究长除法和公分母，而完全关掉了这条评论音轨。在我看来，这条音轨才是算术的本质：算术就是不断寻找更全面、更完美的数字的过程。
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如果我们只满足于数数，满足于加法和乘法运算，那么自然数，也就是1、2、3……就足够用了。但是，聪明的人类很快就提出了一个更为高级的问题：如果什么都没有，该如何表示？我们需要创造一个新的数字，那就是零。接下来，既然我们可以借款和负债，那么我们又需要负数。加入零和负数以后，这个新的数字集合就是整数。整数和自然数一样，是非常自然和完整的，但整数的产生赋予人类更多的力量：现在我们不仅可以进行加法和乘法运算，还可以做减法运算。
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但是，当我们试着和别人分享东西，新的问题又产生了。把一个数平均分成几份有时是不可能的，除非我们再次扩大数字定义的范围。为此，我们发明了分数。分数是两个整数的值，所以它的学名叫作有理数。很遗憾，当接触到有理数的知识，很多学生就开始感到迷惑，并视数学为恐怖的学问了。
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确实，除法以及除法的结果产生了不少让大家迷惑不解的东西。其中最令人抓狂的莫过于描述整体的一部分居然可以有那么多种不同的方式。
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如果你把一块巧克力蛋糕从中间切开，切成大小相同的两小块，那么你可以说每一小块是整块蛋糕的“一半”。你也可以说，每一小块是整块蛋糕的1/2（1/2的意思就是两份同样大小的东西中的一份，1和2之间的那一条线正是象征着切割）。除此之外，你还可以说，每一小块蛋糕是整块蛋糕的50%，50%就是100份中的50份。除此之外，你还可以引入小数的概念，你也可以说每一小块是0.5份整块蛋糕。
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也许正是因为选择过多，我们才会在面对分数、小数和百分数的时候感到迷惑，感到无所适从。电影《我的左脚》中就有一个鲜活的例子。《我的左脚》讲的是克里斯蒂·布朗的真实故事。克里斯蒂·布朗是一位天才的爱尔兰作家、画家和诗人。克里斯蒂·布朗出生在一个工薪阶级的大家庭中，先天患有脑瘫，几乎无法说话，也不能控制自己的大部分肢体活动。只有他的左脚是灵活的。从小，克里斯蒂·布朗一直被家人当作一个残疾人，尤其是他暴虐的父亲，总是对克里斯蒂充满仇恨，十分残酷地对待他。
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电影中最关键的情节之一是发生在厨房里的一幕。克里斯蒂的姐姐正坐在父亲旁边，安静地做着数学作业。而克里斯蒂仍像往常一样，歪歪扭扭地坐在椅子上，被安置在房间的角落里。突然，克里斯蒂的姐姐打破了沉默，她问父亲：“1/4的25%是多少？”她的父亲仔细地想了想，回答说：“1/4的25%？这真是一个愚蠢的问题。1/4不就是25%吗？难道还有1/4的1/4吗？”姐姐回答说：“当然有1/4的1/4啦，克里斯蒂，你说呢？”这时，克里斯蒂的爸爸轻蔑地说：“啊，你问他？他懂些什么？”
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听了这话，克里斯蒂歪歪扭扭地用左脚拿起一支粉笔。他艰难地调整着粉笔的角度，在地上的石板上画下了一个1，然后画上一条斜线，接着写出了一个让人看不懂的符号——他想写的是16，但却把6这个数字写反了。焦急的克里斯蒂用脚跟擦掉了那个写错了的数字6，试着重写，但是这一次粉笔动得太快，又把数字16变成了一个没人能看懂的符号。克里斯蒂的父亲冷笑道：“我看他只是神经质地抽风吧。”说完就转身走开了。克里斯蒂则筋疲力尽地靠在了椅背上。
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这一幕的戏剧张力非常大，但对我来说，印象最深刻的还是克里斯蒂的父亲对数学概念的理解是多么僵硬、死板。到底为什么他会觉得不能有1/4的1/4呢？也许对他来说，只有一个完整的东西才能有1/4？或者只有已经进行了四等分的东西才有1/4？但是，我想他没有理解的是：其实任何东西都可以进行四等分。即使一个东西已经是整体的1/4，也完全可以再进行四等分，得到其中的1/4，下图清楚地表示出了这个过程。
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从图中可以看出，最后这个圆形一共被分成了16份，也就是说每一小份都是整体的1/16。克里斯蒂试着在地上写出的数字正是1/16，他想的一点也没错，1/4的1/4就是1/16。
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类似的僵化思维的误区在实际生活中时常出现，只不过在网络化的今天，这样的误区也穿上了网络化的外衣。几年前，一位名叫乔治·瓦卡罗的顾客和威瑞森电话公司的客服人员产生了争论。因为有理说不清，这位愤怒又无奈的顾客把他和威瑞森公司两位客服人员的通话录音发布到了网络上。这位顾客称，他使用电话公司的数据业务，合同约定的资费是每千字节0.002美分，但实际的账单是每千字节0.002美元，实际收费是合同规定的100倍。瓦卡罗和客服的有趣对话的点击率很快爬升到Youtube网站喜剧版的前50名。
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下面，我来摘录一段他们的争论，这段争论发生在录音播放到约1/2的地方，对话的双方是乔治·瓦卡罗和威瑞森公司的一位客服经理安德烈。
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瓦卡罗：你知道1美元和1美分是有区别的吗？
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安德烈：当然。
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瓦卡罗：那你知道0.5美元和0.5美分是有区别的吗？
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