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这种结构在数学上被称为“分形”。分形是一种复杂的几何形状,分形的微观结构是不断重复的,也就是说每一部分都是整体缩小后的形状。
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此外,哈伯德还发现,不同色块的边缘地带是混沌的。有时两个初始值点一开始非常接近,它们会肩并肩地一起震荡一阵子,然后突然转向,奔赴两个截然不同的根。对于边缘地带的初始值点来说,最后会收敛向哪一个根是完全无法预测的,就好像轮盘赌最终会停在哪个数字上是完全无法预测的一样。初始状态的一些极其微小、难以察觉的因素会极大地影响最终结果。
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哈伯德所做的上述工作是“复杂动力学”领域的先驱工作。“复杂动力学”这个新兴的学科结合了混沌理论、复分析理论,以及分形几何的内容。在某种层面上,我们可以说“复杂动力学”让几何学又一次找到了它的“根”。印度曾发现一份公元前600年的梵文手稿,这份手稿是写给寺庙建筑工人的一份说明书,里面详细地描述了如何用几何的方法求平方根,以满足寺庙里祭坛的建设需要。2 500多年以后的1976年,数学家们又一次展开了“求根”的研究,不同的是,如今这份求根的说明不再用梵文写就,而是用二进制的程序代码写成。
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也许,不管人类进化到了哪一步,我们永远都离不开某些“虚构”的伙伴——复数。
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X的奇幻之旅:在现实生活中发现数学思维之美 第9章 应用题:冷热水龙头一起灌满浴缸需要多长时间?
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欧文叔叔是我爸爸的弟弟,他和我爸爸一起在镇上经营着一家鞋店。欧文叔叔大部分时间都待在鞋店楼上的办公室里,负责处理财务方面的事情。这是因为欧文叔叔虽然很有数学头脑,却不善于跟顾客打交道。
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在我10岁或11岁的时候,欧文叔叔给我出了我人生中的第一道应用题。直到今天,我仍然清楚地记得那道题目,我想大概是因为当时我把这道题目做错了,而且为此羞愧了好长时间,所以我才会记得这么清楚。
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这道应用题是关于往浴缸里灌水的问题:如果只开冷水龙头,灌满浴缸需要半个小时;如果只开热水龙头,灌满浴缸需要1个小时。问:如果把冷水龙头和热水龙头同时打开,灌满浴缸需要多长时间?
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我清楚地记得我的答案是45分钟,当然我完全是瞎猜的,我相信不少人都会想到45分钟这个答案。听到我的答案后,欧文叔叔摇了摇头、咧嘴笑了,然后,他开始用他那带着鼻音的尖细嗓音给我讲解这道题。
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欧文叔叔说:“史蒂芬,你先要搞清楚每分钟有多少水流进浴缸。”冷水龙头30分钟能灌满浴缸,也就是说每分钟可以灌满浴缸的1/30。而热水龙头的水流量比较小,60分钟才能灌满浴缸,也就是说热水龙头每分钟可以灌满浴缸的1/60。那么,当你把冷水龙头和热水龙头同时打开,每分钟可以灌入浴缸的水流量就是:
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分数的加法运算怎么做呢?首先我们应该观察到,60是30和60的最小公倍数,所以,我们需要先把改写成, 于是:
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可见,如果把冷水龙头和热水龙头同时打开,每分钟可以灌满浴缸的1/20。也就是说,20分钟就可以灌满整个浴缸。
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从那天以后,我不时会回想起欧文叔叔出的这道往浴缸里灌水的应用题。每次想起这道题,都会激起我对欧文叔叔的感情,以及我对这道题本身的兴趣。我觉得这道题里有一些更大的道理值得我们学习,那就是,当我们无法得到一个问题的准确答案时,如何快速求得问题的近似解呢?又应该如何用直觉来解题呢?用直觉解出一道题时,我们常常会获得一种茅塞顿开的快乐。
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