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怎么解决这个问题呢？其实非常简单，既然水的混合容易让人犯糊涂，我们不妨把两个水龙头彻底分开，让它们分别负责往不同的浴缸里灌水。我们可以发挥想象力，对题目稍作变动：现在我们不只是有一个浴缸和两个水龙头了；我们有一冷一热两个水龙头，每条水龙头下面都有一个传送带，传送带上排满了一个又一个的空浴缸。这两个传送带是完全分离的，冷水龙头和热水龙头分别有自己的传送带。如下图所示。
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在这样的假设条件下，冷水龙头和热水龙头是完全独立、互不干扰的。两个水龙头分别往不同的浴缸中灌水，完全不存在冷水和热水混合的情况。传送带是这样设计的：每当前一个浴缸灌满了水，传送带就会自动向前滚动，把后面的一个空浴缸送到水龙头下方，让水龙头继续灌水。
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如此一来，问题就变得简单多了：60分钟以后，热水龙头正好灌满了1个浴缸，而冷水龙头已经灌满了传送带上的2个浴缸（因为冷水龙头灌满一个浴缸只需要30分钟）。也就是说，两个水龙头同时打开，60分钟共计灌满了3个浴缸，那么灌满一个浴缸需要多长时间呢？显然是60分钟的1/3，也就是20分钟。
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究竟为什么大家（包括童年时候的我）在猜这道题的答案时会给出45分钟这个答案呢？为什么我们的第一反应总是去求解30分钟和60分钟的平均值呢？我也不知道。我想一种可能的解释是，听到这道题以后，我们的直觉自动开启了“模式识别”的功能，但可惜我们的直觉识别出了错误的“模式”。因为有些和这道题十分类似的题目，答案确实是两个数字的平均数，而我们的直觉把浴缸问题和那些问题弄混了，才会错误地给出45分钟的答案。当我和我的太太讨论这个问题为什么会出错的时候，我的太太用类比的方法给出了她自己的解释。她说，可以考虑这样一个问题，假设有一位老奶奶要过马路：如果无人帮助，老奶奶过马路需要耗时60秒钟；而你单独过马路则走得很快，只要30秒钟就够了。那么，要是你去搀扶老奶奶，你们手挽着手一起过马路需要多长时间呢？这个题目的答案就是45秒钟，因为过马路的过程中，老奶奶一直挽着你的胳膊，她能获得一些动力，所以她会比单独走的时候速度快一些；而你因为老奶奶的关系，速度会比自己单独走的时候慢一些。
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那么，浴缸问题和老奶奶过马路问题的区别到底在哪里呢？那就是，你和老奶奶一起过马路的时候，你们会互相影响对方的速度。而在浴缸问题中，两个水龙头虽然同时在放水，但是灌水的速度是完全不受对方影响的。你和老奶奶是互相影响的，而两个水龙头是互相独立的，这是这两道题的本质区别。可惜我们的潜意识没有那么敏锐，无法第一时间发现这个重要区别。尤其是当我们急于立刻给出答案的时候，我们就在直觉思维的带领下直奔那个错误的答案去了。
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好吧，只要我们能认识到自己错在哪里，那么即使是错误的答案也有它的教育意义。这个错误的答案让我们看到，我们的思维多么容易被错误的类比或毛躁粗心的判断所误导。在认清了自己所犯的错误以后，我们对这一类问题也有了更清晰、更深刻的认识。
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很多经典的应用题都含有一些故意设计出来的陷阱，使得解题的人很容易受到误导。这种伎俩就像魔术师使用的华丽的障眼法。很多应用题的问法中故意埋藏了一些文字陷阱，如果你凭直觉回答，就会掉入这些陷阱。
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比如，有这样一道题目：3个人可以在3小时内漆完3段篱笆，那么1个人漆完1段篱笆需要几个小时呢？
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听到这道题目以后，很多人会脱口而出：“1个小时。”这绝对是不假思考的答案。这道题读起来就跟顺口溜似的：3个人、3段篱笆、3个小时。这句话在你的脑海中建立起了一个鼓点般的韵律，所以当看到下一句——1个人、1段篱笆、_____个小时——的时候，你会情不自禁地想在空格处填上一个1。这种条件和问题的平行结构使得人们很容易给出一个语言音律学上感觉正确，但是数学计算上却完全错误的结论。这就是这道题的陷阱所在。
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事实上，这道题的正确答案应该是3个小时。
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如果你借助一点儿视觉上的帮助，在头脑中想象出题目里描述的画面——3个人在漆3段篱笆，并于3个小时以后同时完工——那么正确的答案就很容易得到了。3个小时结束的时候，3段篱笆都要油漆完毕，如果每人负责漆一段篱笆，显然，这个人要花整整3个小时的时间才能漆完这一段篱笆。
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能不被表象所迷惑，冷静客观地审题，是答对本题的关键。在各种五花八门的应用题中，我们应该学习和训练自己的这种能力。这种题目强迫我们停下来，用一种我们所不熟悉的方式冷静地分析和思考。这样的题目，能够很好地训练我们的思维能力和分析能力。
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但是我觉得，这还不是应用题最大的好处。应用题最大的好处在于，它不仅锻炼了我们关于数字的思考和分析能力，还让我们学会思考和分析数字与数字之间的关系（例如水龙头的出水速度和灌满浴缸所需时间之间的关系）。这种能力是每个学生在学习数学的道路上都必须掌握的。不掌握这种能力，就无法迈入数学学习的下一个阶段。很多人都缺乏这种能力，有些人始终无法熟练地掌握分析数字与数字之间关系的技巧。这并不奇怪，毕竟数字和数字之间的关系，比数字本身要抽象得多。但是，大家应该明白这样一个道理：数字和数字之间的关系，比数字本身要有用得多，也深刻得多。在我们的宇宙中，我们周围万事万物的内在逻辑，都可以用数字与数字之间的关系来表示。因与果、供与求、输入和输出、措施和效果，这些逻辑关系都可以抽象地表示为数字与数字之间的关系。正是因为数字和数字的关系如此重要，我们的数学教育里才会引入大量绕来绕去的应用题。这些应用题并不是为了为难我们，而是为了培养和锻炼我们的思维能力，让我们更好地掌握数字与数字之间的关系。
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尽管如此，也有人对应用题的存在提出了一些批评意见。数学家和畅销书作者基思·德夫林曾经发表过一篇文章，题为“应用题的问题”。在这篇文章中，德夫林指出，应用题隐含着一种“潜规则”：首先，出题者假设你懂得游戏规则；然后，只要你选择做这道题，你就被默认为接受这道应用题的游戏规则。但是，这种游戏规则往往是人为生造的，有时候，有些规则甚至是非常生硬而荒唐的。比如，在我们上文引用的3个人3个小时油漆3段篱笆的应用题里，题面就隐含了以下两个假设：首先，3个人刷油漆的速度是完全一样的；其次，每个人都是匀速粉刷篱笆，中间没有人加速，也没有人减速。其实，上述两个假设都是很不现实的。但是作为解题人，你必须知道这道应用题里的这些潜台词，并且默认这些假设是成立的。因为如果不知道或不承认这些假设的话，这道题就太过复杂，而且因为信息不足而根本无法解答。如果你纠结于其中的细节，你就必须知道以下的所有信息：每个粉刷匠到底以一种什么样的速度在漆篱笆？是不是到了第3个小时，大家的体力都下降了，因此粉刷的速度就减慢了？如果情况是这样，粉刷速度究竟如何随时间减慢？每个粉刷匠隔多久会停下来休息，每次休息多久？诸如此类。显然，如果考虑这些问题，这道应用题根本就没办法解答。
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从德夫林的角度来看，上述这些情况是应用题这种出题形式的“问题”和“漏洞”，但我觉得，对于我们这些从事数学教育的人来说，我们完全可以把这些问题和漏洞转化成应用题的“特色”。在出题的时候，我们应该明确题目中的这些隐含的假设，还应该告诉学生们，之所以需要做出这些理想化的假设，是因为只有这样才能简化问题，抓住问题的关键矛盾。千万别小看了这项能力，知道如何抓住问题的关键矛盾，而把次要的情况通过理想化的假设尽量简化，这个过程叫作“数学建模”。当各个领域的科学家把数学应用到各种实际问题中的时候，他们都一定会完成这个“数学建模”的过程。和大部分应用题的命题人不同的是，科学家们通常会认真、严谨、明确地列出模型中用到了哪些假设，而在应用题中，这一步往往被省略掉了，所以有时难免造成一些误解和争议。
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说到这里，我想要再次感谢我亲爱的欧文叔叔：谢谢你给我出了我人生中的第一道应用题，谢谢你给我上了一堂如此重要的数学课。那道我没能答对的应用题让我羞愧了很长时间，却也给了我很多正面的启迪和教育。
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X的奇幻之旅：在现实生活中发现数学思维之美 [:1701001361]
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X的奇幻之旅：在现实生活中发现数学思维之美 第10章 丑陋却万能的二次方程求根公式
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二次方程求根公式，可能是数学公式中最被“低估”的一个了。它可以说是数学界的罗德尼·丹泽菲尔德（美国著名的喜剧演员），虽然足够优秀，却总是得不到尊重。
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显然，专业人士似乎并不是十分欣赏二次方程求根公式。曾经有过不少这一类的调查，让物理学家和数学家们列出他们所认为的史上最美或最重要的10个公式。二次方程求根公式一次也没有入围。在这类“选美”比赛中，1＋1=2肯定每次都有一大群支持者；E=mc2也是名声在外，一再获选；勾股定理a2＋b2=c2看上去更是一副了不起的样子。但是，二次方程求根公式永远只能扮演灰姑娘的角色。
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不得不承认，二次方程求根公式看上去确实很不美观。有不少学生会把二次方程求根公式当成一条咒语机械地背下来：“x等于2a分之负b加减根号下b的平方减去4ac。”还有的学生连背也背不下来，面对着这一大堆字母、符号、数字的组合，他们面如死灰，仿佛见了鬼，只会呆若木鸡地对着这个公式。这个令人闻风丧胆的求根公式是这样的：
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