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理论上，指数增长是你致富的希望。假设你把钱存在银行里，每年的年利率是r，那么一年以后，你的存款会变成本金的（1＋r）倍；两年以后，你的存款会变成本金的（1＋r）2倍；x年以后，你的存款会变成本金的（1＋r）x倍。这就是我们所说的“复利”，即传说中“滚雪球”的魔力，这种现象的本质其实也是指数增长。
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现在，让我们回到本章一开始就提到的对数。为什么我们需要对数？因为很多时候，我们需要一些反向的工具，用于消除某种其他工具产生的效果。就像每一个办公室文员都需要一台订书机和一台订书针拆除器一样，每一个数学家都需要指数函数和对数函数。是的，对数函数是指数函数的逆运算。也就是说，如果你往计算器中输入一个数字x，按下10x按钮，然后再按下logx按钮，那么计算器就会给出你输入的那个数字。例如，如果x取2，10x就是102也就是100。然后再计算log（100），我们得到的结果等于2。在计算器上，logx按钮可以抵消10x按钮的功能，所以log（100）=2。同样，log（1 000）=3，log（10 000）=4，因为1 000=103，10 000=104。
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看出其中的神奇之处了吗？当log后面括号里的数字以乘法增长，每次增长10倍，从100增长到1 000，再从1 000增长到10 000的时候，它们的对数却以加法增长，每次增长1，从2增长到3，再从3增长到4。当我们听音乐的时候，我们的大脑也在进行一种类似的工作。音的频率do、re、mi、fa、sol、la、ti、do听起来像是一步一步、一阶一阶地增长的，但其实这些音的震动频率是以乘法的方式成倍增长的。看！我们人类其实是用对数的方法来识别音阶的。
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在很多领域，对数使得计数变得更加简洁明了：从衡量地震强度的里氏震级，到化学中衡量酸碱度的pH值，这些读数或指标其实都是对数。当需要衡量的数量大的极大、小的极小，横跨的范围很宽的时候，对数的引入能起到压缩作用，压缩后的数据更直观易懂，便于比较和分析。比如说100和1亿之间相差100万倍，这个差距太大，以至于一般人的头脑已经无法理解这个差距的具体含义了。但是，100和1亿的对数只差4倍（100的对数是2，1亿的对数是8，因为100=102，100 000 000=108）。在日常对话中，我们会说某人的年薪是6位数，意思是某人的年薪在100 000~999 999美元之间。这种说法其实也用到了对数的概念，这个庞大的年薪数额的对数不正好是6左右吗？准确地说，这个范围内的年薪数额的对数在5到6之间。
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幂函数、指数函数、对数函数，这些数学工具实在是相当巧妙和实用。但是，数学家的工具箱有时也有点儿“纸上谈兵”的味道。正是因为工具的局限性，我至今也没能成功地组装起我从宜家家居买来的那个书架。
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X的奇幻之旅：在现实生活中发现数学思维之美 [:1701001363]
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X的奇幻之旅：在现实生活中发现数学思维之美
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X的奇幻之旅：在现实生活中发现数学思维之美 第3部分 形状
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X的奇幻之旅：在现实生活中发现数学思维之美 [:1701001364]
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第12章 跳舞的正方形与勾股定理
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你高中时最喜欢的数学课程是什么？
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我猜一定是几何学。
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这么多年来，很多人向我表达过他们对几何学的好感。人们喜欢几何学是不是因为很多人喜欢运用视觉思维，喜欢使用右脑，从而觉得图像化的几何学远远好过那些抽象冷漠的纯逻辑推导？也许吧。但是，也有人告诉我，他们喜欢几何学，正是因为几何严密、完美地遵从着逻辑。的确，几何学是一步一个脚印的扎实逻辑推导，每一个新定理都是从已经证明的旧定理一丝不苟地严密推导而来的。对很多人来说，这种绝对的逻辑性和理性，正是几何学的魅力所在。
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不过就我个人看来（首先声明，我非常喜欢几何学），人们之所以喜欢几何学，并非因为它有绝对严密的逻辑性，而是因为几何学是逻辑和直觉的完美结合。当我们能够同时使用我们的左脑和右脑，总是特别令人开心的一件事。
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为了充分阐述几何学的美，以及几何学带给人们的快乐，我们需要再次提到我们的老朋友勾股定理。你可能还记得，勾股定理的公式是a2＋b2=c2。下面我们要来仔细地研究一下勾股定理。我们的目标之一是，理解什么是a2＋b2=c2，并且搞清楚为什么这个公式是非常重要的。除此之外，我们还会看到，勾股定理的证明方法有两种，虽然这两种证明方法无疑都是正确的，我却想试着向大家解释一下，为什么其中一种证明方法比另一种证明方法更加“优雅”。
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勾股定理考虑的是直角三角形的问题。所谓直角三角形，就是其中一个角为90度的三角形。直角三角形是一种很重要的形状，如果你把长方形沿着对角线切成两半，你就会得到两个直角三角形。
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既然长方形在各个领域中都如此常见，显然直角三角形也是一种我们常常会见到和用到的重要形状。
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比如，在地质勘察的时候，就会遇到直角三角形。如果你着手丈量一块长方形的地块，那么你很可能想知道从这块地的一个角到它的对角的距离有多长。（实际上，这正是几何学最早的起源。几何学是因为丈量土地的需要而产生的。在英文中，几何学这个词geometry可以划分成两个词根，geo是“土地”的意思，metry则是“丈量”的意思。）
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勾股定理告诉我们，一个直角三角形的斜边长度和两条直角边长度之间存在什么关系。如果直角三角形的两条直角边的长度分别为a和b，斜边长度为c，那么根据勾股定理，这个直角三角形的斜边c与两条直角边a、b的关系是：
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a2＋b2=c2
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