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既然长方形在各个领域中都如此常见，显然直角三角形也是一种我们常常会见到和用到的重要形状。
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比如，在地质勘察的时候，就会遇到直角三角形。如果你着手丈量一块长方形的地块，那么你很可能想知道从这块地的一个角到它的对角的距离有多长。（实际上，这正是几何学最早的起源。几何学是因为丈量土地的需要而产生的。在英文中，几何学这个词geometry可以划分成两个词根，geo是“土地”的意思，metry则是“丈量”的意思。）
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勾股定理告诉我们，一个直角三角形的斜边长度和两条直角边长度之间存在什么关系。如果直角三角形的两条直角边的长度分别为a和b，斜边长度为c，那么根据勾股定理，这个直角三角形的斜边c与两条直角边a、b的关系是：
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a2＋b2=c2
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在英语中，直角三角形的斜边叫作hypotenuse，这个词的字面意思是“下方的长度”（hypo指在某物下方，tenuse是长度的意思）。我始终没有搞清楚“斜边”一词为何字面表达为“下方的长度”。（有没有懂拉丁语或希腊语的学者来为我解答一下？）tenuse在希腊语中不仅表示长度，还有“拉伸、绷直”的意思，斜边看起来确实像一条绷紧的弦，但“下方”这层意思则实在令人感到困惑。
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先暂时抛开词源学的问题，我们还是来看看勾股定理。为了简化问题，我们取几个最方便计算的数值，假设a=3码、b=4码，我们的目标是求出未知的斜边长度，也就是c的值。好，现在让我们穿上“法衣”，大声念出我们的咒语：3的平方加上4的平方，也就是9加上16（注意现在这些数字的单位都是平方码，因为我们对数字进行了平方，就要同时把数字后面的单位也平方一下，这样才不会出错）。9＋16=25，也就是说c2=25，等式两边开平方，我们算出c=5码，即这个直角三角形的斜边长度是5码。
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从这个角度来看勾股定理，似乎勾股定理是一个关于长度的定理。但是，在几何学的传统上，勾股定理一直被认为是一个关于面积的定理。为什么呢？让我换一种说法，你就明白了。勾股定理还可以表述为：
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斜边上的方等于两条直角边上的方之和。
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你可能从没听说这种说法，甚至根本不明白这句话是什么意思。让我来给你解释一下，斜边上的方并不是指斜边的平方，它真的就是字面的意思：斜边上面的那个正方形。平方是一个代数的概念，而斜边上面的正方形则完完全全是几何学的概念。但是，斜边上的正方形到底是什么样子的呢？让我来画给你看。
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让我们把这个正方形命名为“大正方形”，因为接下来我们还会看到一个小正方形和一个中正方形，而那两个正方形将分别位于两条直角边之上，请看下图。
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勾股定理告诉我们：大正方形的面积等于小正方形和中正方形的面积之和。
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几千年以来，这个伟大而神奇的定理一直是用下面的这张图来表示的，这张帮助我们记忆的图非常醒目，看起来就像3个跳舞的正方形。
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从面积而非长度的角度来看勾股定理，我们可以发现很多有趣的东西。比如，你可以通过吃饼干的方法来验证勾股定理，你尝试先用很多小块的饼干拼出那3个跳舞的正方形，然后吃掉它们看看等式是不是真的成立。你还可以把勾股定理当成一个小孩子玩的拼图游戏，通过摆弄不同形状的拼图零片，轻松地验证勾股定理是否成立，让我一步步地做给你看。
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首先，我们回到斜边上的正方形，再次重温一下，这个大正方形如下图所示。
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仔细看一眼这个正方形，你会感到一丝直觉上的不安，因为这个正方形看起来很不稳定，似乎随时要翻转着倒下来。还有一个让我不安的因素是，这个正方形的其中一边和直角三角形的斜边重合，而且这一边似乎可以是正方形四条边的任意一条，这种随机性和不唯一性，也让我感觉有点儿不舒服。
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既然这样，就让我们顺从自己的直觉，补画另外3个三角形，从而得到一幅更稳定、更对称的图形。
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