1701002401
斜边上的方等于两条直角边上的方之和。
1701002402
1701002403
你可能从没听说这种说法，甚至根本不明白这句话是什么意思。让我来给你解释一下，斜边上的方并不是指斜边的平方，它真的就是字面的意思：斜边上面的那个正方形。平方是一个代数的概念，而斜边上面的正方形则完完全全是几何学的概念。但是，斜边上的正方形到底是什么样子的呢？让我来画给你看。
1701002404
1701002405
1701002406
1701002407
1701002408
让我们把这个正方形命名为“大正方形”，因为接下来我们还会看到一个小正方形和一个中正方形，而那两个正方形将分别位于两条直角边之上，请看下图。
1701002409
1701002410
1701002411
1701002412
1701002413
勾股定理告诉我们：大正方形的面积等于小正方形和中正方形的面积之和。
1701002414
1701002415
几千年以来，这个伟大而神奇的定理一直是用下面的这张图来表示的，这张帮助我们记忆的图非常醒目，看起来就像3个跳舞的正方形。
1701002416
1701002417
1701002418
1701002419
1701002420
从面积而非长度的角度来看勾股定理，我们可以发现很多有趣的东西。比如，你可以通过吃饼干的方法来验证勾股定理，你尝试先用很多小块的饼干拼出那3个跳舞的正方形，然后吃掉它们看看等式是不是真的成立。你还可以把勾股定理当成一个小孩子玩的拼图游戏，通过摆弄不同形状的拼图零片，轻松地验证勾股定理是否成立，让我一步步地做给你看。
1701002421
1701002422
首先，我们回到斜边上的正方形，再次重温一下，这个大正方形如下图所示。
1701002423
1701002424
1701002425
1701002426
1701002427
仔细看一眼这个正方形，你会感到一丝直觉上的不安，因为这个正方形看起来很不稳定，似乎随时要翻转着倒下来。还有一个让我不安的因素是，这个正方形的其中一边和直角三角形的斜边重合，而且这一边似乎可以是正方形四条边的任意一条，这种随机性和不唯一性，也让我感觉有点儿不舒服。
1701002428
1701002429
既然这样，就让我们顺从自己的直觉，补画另外3个三角形，从而得到一幅更稳定、更对称的图形。
1701002430
1701002431
1701002432
1701002433
1701002434
现在，让我们回顾一下我们的初衷：我们想要证明这个歪歪斜斜地靠在斜边上的正方形的面积（虽然添上了另外3个三角形，但是这个大正方形仍然是我们认识的那个大正方形。虽然现在一共有4个三角形围着大正方形，但不要忘了左下角的那个才是我们要研究的那个直角三角形）等于小正方形和中正方形的面积之和。问题是：小正方形和中正方形到底在哪儿呢？让我们通过移动三角形的方法来找出小正方形和中正方形。
1701002435
1701002436
把上面的图片想象成一个拼图：这个拼图有一个正方形的框架，框架里面有4块三角形的拼图零片。
1701002437
1701002438
1701002439
1701002440
1701002441
在这样的设定下，中间那个歪斜的正方形是拼图框架中间的空白部分，而框架内非空白的部分则被4个三角形拼图零片占据。
1701002442
1701002443
现在让我们来试着移动这4个拼图零片，用不同的方法拼出不同的形状，就像玩七巧板一样。显然，不管我们怎么拼，框架内空白区域的面积总是保持不变的，这是因为框架内的总面积不变，4块拼图零片的总面积也不会改变。
1701002444
1701002445
开动脑筋以后，我们非常聪明地把4个三角形拼成以下这个图形。
1701002446
1701002447
1701002448
1701002449
1701002450
看到了吗？拼成上图图形以后，空白的区域变成了一个小正方形和一个中等大小的正方形，这不正是我们要证明的吗？如前所述，空白区域的面积永远等于大正方形的面积，所以，我们证明了勾股定理是成立的！