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从面积而非长度的角度来看勾股定理，我们可以发现很多有趣的东西。比如，你可以通过吃饼干的方法来验证勾股定理，你尝试先用很多小块的饼干拼出那3个跳舞的正方形，然后吃掉它们看看等式是不是真的成立。你还可以把勾股定理当成一个小孩子玩的拼图游戏，通过摆弄不同形状的拼图零片，轻松地验证勾股定理是否成立，让我一步步地做给你看。
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首先，我们回到斜边上的正方形，再次重温一下，这个大正方形如下图所示。
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仔细看一眼这个正方形，你会感到一丝直觉上的不安，因为这个正方形看起来很不稳定，似乎随时要翻转着倒下来。还有一个让我不安的因素是，这个正方形的其中一边和直角三角形的斜边重合，而且这一边似乎可以是正方形四条边的任意一条，这种随机性和不唯一性，也让我感觉有点儿不舒服。
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既然这样，就让我们顺从自己的直觉，补画另外3个三角形，从而得到一幅更稳定、更对称的图形。
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现在，让我们回顾一下我们的初衷：我们想要证明这个歪歪斜斜地靠在斜边上的正方形的面积（虽然添上了另外3个三角形，但是这个大正方形仍然是我们认识的那个大正方形。虽然现在一共有4个三角形围着大正方形，但不要忘了左下角的那个才是我们要研究的那个直角三角形）等于小正方形和中正方形的面积之和。问题是：小正方形和中正方形到底在哪儿呢？让我们通过移动三角形的方法来找出小正方形和中正方形。
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把上面的图片想象成一个拼图：这个拼图有一个正方形的框架，框架里面有4块三角形的拼图零片。
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在这样的设定下，中间那个歪斜的正方形是拼图框架中间的空白部分，而框架内非空白的部分则被4个三角形拼图零片占据。
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现在让我们来试着移动这4个拼图零片，用不同的方法拼出不同的形状，就像玩七巧板一样。显然，不管我们怎么拼，框架内空白区域的面积总是保持不变的，这是因为框架内的总面积不变，4块拼图零片的总面积也不会改变。
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开动脑筋以后，我们非常聪明地把4个三角形拼成以下这个图形。
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看到了吗？拼成上图图形以后，空白的区域变成了一个小正方形和一个中等大小的正方形，这不正是我们要证明的吗？如前所述，空白区域的面积永远等于大正方形的面积，所以，我们证明了勾股定理是成立的！
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这种证明方法比其他证明方法好得多，它不仅让人们相信这个定理的存在，还非常形象地将其演示给人们看。这正是这种证明方法的“优雅”之处。
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为了做出比较，在此我提供勾股定理的另一种证明方法。这种证明方法也很有名，而且还非常简单，因为它完全没有用到面积的概念。
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我们还是假设一个直角三角形两条直角边的长度分别是a和b，斜边的长度为c，如下图所示。
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现在，假想我们突然接受了神灵的启示，或者突然才思泉涌、醍醐灌顶……总之，基于某些神秘的原因，我们决定画一条辅助线。这条辅助线从直角的顶点开始，垂直于三角形的斜边，如上图中的右图所示。
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通过这条天才的辅助线，我们在原本的大三角形里面创造出了两个新的小三角形。很容易证明的是，这三个三角形的形状是相似的，也就是说，它们的形状是一模一样的，只是大小不同。因此，每个三角形的三边关系必然是一样的，即边与边长度的比值是一样的，翻译成数学语言就是：
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