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现在让我们来试着移动这4个拼图零片，用不同的方法拼出不同的形状，就像玩七巧板一样。显然，不管我们怎么拼，框架内空白区域的面积总是保持不变的，这是因为框架内的总面积不变，4块拼图零片的总面积也不会改变。
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开动脑筋以后，我们非常聪明地把4个三角形拼成以下这个图形。
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看到了吗？拼成上图图形以后，空白的区域变成了一个小正方形和一个中等大小的正方形，这不正是我们要证明的吗？如前所述，空白区域的面积永远等于大正方形的面积，所以，我们证明了勾股定理是成立的！
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这种证明方法比其他证明方法好得多，它不仅让人们相信这个定理的存在，还非常形象地将其演示给人们看。这正是这种证明方法的“优雅”之处。
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为了做出比较，在此我提供勾股定理的另一种证明方法。这种证明方法也很有名，而且还非常简单，因为它完全没有用到面积的概念。
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我们还是假设一个直角三角形两条直角边的长度分别是a和b，斜边的长度为c，如下图所示。
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现在，假想我们突然接受了神灵的启示，或者突然才思泉涌、醍醐灌顶……总之，基于某些神秘的原因，我们决定画一条辅助线。这条辅助线从直角的顶点开始，垂直于三角形的斜边，如上图中的右图所示。
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通过这条天才的辅助线，我们在原本的大三角形里面创造出了两个新的小三角形。很容易证明的是，这三个三角形的形状是相似的，也就是说，它们的形状是一模一样的，只是大小不同。因此，每个三角形的三边关系必然是一样的，即边与边长度的比值是一样的，翻译成数学语言就是：
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同时，我们还知道：
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c=d＋e
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因为我们只是画了一条辅助线，把原来的斜边c分割成了两个部分d和e，所以d和e的总长当然应该等于斜边c的长度。
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看到这里，你可能感到有些头晕，心里会犯嘀咕：我们现在在做什么？下一步要做什么？让我来回答一下这两个问题：我们现在创造出了5个方程式，我们下一步的目标是使这5个方程式成为我们想要证明的等式：
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a2＋b2=c2
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怎么做呢？你不妨先自己研究一下。研究一会儿你就会发现，5个方程式中有2个方程式是完全没用的，就这一点而言这个证明方法相当“丑陋”，因为一个“优雅”的证明里不应该有任何多余的东西。当然，这只是后见之明，因为在一开始，你根本不可能知道5个方程式中的哪三个是有用的。
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不管怎样，通过找出那3个有用的方程式，然后进行研究，你就能得出a2＋b2=c2这个公式。
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现在，我们来讨论一下这两种证明方法到底孰优孰劣。从审美的角度来说，我认为第一种证明方法要高明许多，你同意吗？第二种证明方法有很多不够优雅的地方：首先，第二种证明方法的结尾部分确实过长；其次，这只是一个几何证明方法。
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但是，我觉得第二种证明方法的致命缺陷还不只是上述两条，它最大的缺点在于它太不直观了。当你终于艰难地完成了这个证明，你可能勉强相信勾股定理的成立，但是你仍然无法直观地看到它为什么成立。
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关于证明方法的优劣讨论暂时告一段落。现在，我们来说说为什么勾股定理如此重要。原因在于，它揭示了关于空间性质的一个非常深刻而又非常基础的真理。勾股定理暗含了一个重要的信息：空间是平面的，而不是弯曲的。如果是在一个曲面上（例如地球仪表面或者面包圈表面），勾股定理就需要被修正才能继续成立。在爱因斯坦的广义相对论中，他成功地完成了这一挑战。在广义相对论中，重力不再被看作一种力，而是被看作一种空间弯曲程度的表现。事实上，爱因斯坦并不是第一个使空间弯曲的人，在他之前，黎曼和其他数学家已经走出了创造性的一步，奠定了非欧几何的基石。
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从勾股定理到爱因斯坦的相对论，这中间还有很长的一段路。但至少这条路是一条直线，或者应该说，至少这条路的大部分路段是直线。
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