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也许你会觉得，把政治宣言与数学联系在一起未免有些牵强。你可能不知道，杰弗逊总统一直非常喜欢和崇拜欧几里得。1812年1月12日，杰弗逊给他的老朋友约翰·亚当斯写了一封信。当时杰弗逊已经结束了他的第二任总统任期，过起了远离公众与政治的生活。在这封信中，杰弗逊提到远离政坛给他带来的快乐：“我已经不再看报纸了，现在我每天阅读塔西佗和修昔底德的书，阅读牛顿和欧几里得的书。我觉得自己比以前快乐了很多。”
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但是，在我们敬仰欧几里得的逻辑和理性的时候，也许我们忽略了一件非常重要的事情，那就是几何学其实也有直觉和感性（而非理性）的一面。如果没有灵感和直觉，就不可能有证明，或者说，根本不会产生可供证明的定理。就像作曲或者写诗一样，几何学也需要一些“无中生有”的本事。几乎每个领域都需要灵感女神缪斯的眷顾，在艺术领域中如此，在数学天地中同样如此。
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为了详细阐述这个问题，我们来看一个小问题：如何构建一个等边三角形？所谓等边三角形，就是三边边长相等的三角形。这个游戏的规则是，给你三角形的一边，请你构建出一个等边三角形。题目给出的三角形一边（底边）是一条线段，如下图所示。
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由这个线段出发，如何构建出等边三角形的另外两边呢？如何保证另外两边的边长和底边相等？我们手头的工具只有两种，一是直尺，二是圆规。直尺的作用是什么呢？它能够辅助你画出任意长度的直线，或者用直线连接任意两个点。圆规则能够让你以任意点为圆心、以任意长度为半径画出圆形来。
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请注意，我们的直尺上没有刻度，不能用于测量长度（所以，不能用直尺去测量或复制底边的长度）。圆规也不能当量角器来用，也就是说，我们只能用圆规来画圆，而不能用它来测量角度。
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现在规则已经解释得很清楚了，你可以开始着手解答这道题目了。来吧！
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头脑停止运转了，世界静止了。这个问题到底该如何下手？
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逻辑对解答这道题，一点儿用也没有。这时候，善于解答问题的人会知道：此刻只有放松心情，抱着游戏的态度探寻，才能找到一点儿感觉和灵感。比如说，也许我们应该用直尺从线段的两个端点开始画两条斜线，就像这样：
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遗憾的是，似乎这个方法并不管用：这样确实可以构建出一个三角形，但是完全无法保证画出来的三角形是等边三角形。
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要不试试用圆规画圆？但是，在哪里画呢？是以底边线段的一个端点为圆心画圆吗？
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还是以线段中的某一点为圆心画圆？
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第二种想法与第一种想法相比更加不合理，线段上有那么多点，任选一点似乎毫无用处。
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基于上述判断，让我们还是回到第一种想法上来：继续以底边线段的一个端点为圆心画圆。
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问题是，虽然我们选定了圆心的位置（底边的两个端点），但是画圆还是有很大的任意性。到底应该画多大的圆，也就是说圆的半径应该是多少？对此我们仍然毫无头绪。
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这样继续摸索一段时间以后，我们开始感到疲惫，头也隐隐作痛，很多人会就此放弃这道题。但是，如果我们锲而不舍地进行探索，最终我们可能会产生一种感觉或者灵感：啊！最自然的画圆方法是这样的！让我们把圆规的一个脚放在线段的一个端点上，然后把装有铅笔芯的另一个脚放到线段的另一个端点上。然后，这么轻轻一转，我们就得到一个如下的正圆：
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当然，我们还可以交换一下圆规的两个脚的位置，也就是用线段的左边一个端点作为圆心，画出另一个圆。如下图所示：