1701002541
1701002542
基于上述判断，让我们还是回到第一种想法上来：继续以底边线段的一个端点为圆心画圆。
1701002543
1701002544
1701002545
1701002546
1701002547
问题是，虽然我们选定了圆心的位置（底边的两个端点），但是画圆还是有很大的任意性。到底应该画多大的圆，也就是说圆的半径应该是多少？对此我们仍然毫无头绪。
1701002548
1701002549
这样继续摸索一段时间以后，我们开始感到疲惫，头也隐隐作痛，很多人会就此放弃这道题。但是，如果我们锲而不舍地进行探索，最终我们可能会产生一种感觉或者灵感：啊！最自然的画圆方法是这样的！让我们把圆规的一个脚放在线段的一个端点上，然后把装有铅笔芯的另一个脚放到线段的另一个端点上。然后，这么轻轻一转，我们就得到一个如下的正圆：
1701002550
1701002551
1701002552
1701002553
1701002554
当然，我们还可以交换一下圆规的两个脚的位置，也就是用线段的左边一个端点作为圆心，画出另一个圆。如下图所示：
1701002555
1701002556
1701002557
1701002558
1701002559
那么，如果把上述的两个圆同时画在一张图上会怎么样？（虽然并没有什么特殊的理由，但是这也是一种自然的尝试。）
1701002560
1701002561
1701002562
1701002563
1701002564
你发现了什么？灵感女神是不是刚刚眷顾了你？让我们仔细地观察一下上图，两个圆交叠区域的上半部分，看起来像不像一个略微变形的等边三角形？而这个三角形的顶点就是两个圆相交的部分。
1701002565
1701002566
1701002567
1701002568
1701002569
有了这个雏形，问题就好办了。让我们把这个变形的等边三角形变成一个真正的等边三角形：只要用直尺画两条直线，把两圆相交的点和底边线段的两个端点分别连接起来，我们就得到了一个真正的等边三角形。
1701002570
1701002571
1701002572
1701002573
1701002574
在直觉的指引下，我们成功地走到了这一步，下面是逻辑大显身手的时候了。让我们用逻辑的方法来证明我们得到的确实是一个等边三角形。为了说明问题，我们将整个图形重新画出，并且将三角形的三个顶点命名为A、B和C。如下图所示。
1701002575
1701002576
1701002577
1701002578
1701002579
很明显，这个证明基本就是重复一遍等边三角形的定义而已。我们以线段AB的长度画了两个圆，C点同时在这两个圆的圆周上。所以，线段AC和线段BC的长度是一样的，都等于圆的半径，也就是说，AC和BC的长度都等于底边AB的长度。既然AC=BC=AB，那么该三角形的三边长度两两相等，所以根据等边三角形的定义，我们构造出的三角形ABC是一个等边三角形。证毕。
1701002580
1701002581
上述证明已经流传于世长达数千年了。这个证明是欧几里得最先证实的，是《几何原本》一书中第一册的第一个命题。但是，在给出这个证明的时候，教科书往往直接抛出最后一张图——两个巧妙的圆、完美的字母标注。我个人认为，这种教学方法恰恰剥夺了学生们寻找答案的乐趣，这是一个教学事故！实际上，前面几幅图才是最重要的，那几幅图是在灵感和直觉的指引下发现和探索的过程。我相信，只要有正确的引导，每一个学生都能凭自己的努力完成上述证明过程。
1701002582
1701002583
显然，上述证明的关键是，要有画出两个圆的灵感。运用类似的方法，我们还可以证明一个几何学中更加有名的结果：三角形内角和等于180度。
1701002584
1701002585
证明三角形内角和为180度的方法不止一个，我认为最好的证法并不是欧几里得的证明方法，而是在欧几里得之前由毕达哥拉斯给出的一个证明方法。具体的证明方法如下：假设一个任意三角形的三个内角分别为a、b和c。
1701002586
1701002587
1701002588
1701002589
1701002590
画一条经过三角形顶点的直线，这条直线平行于三角形的底边。