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现在，我们要复习一下平行线的性质。如果两条平行线被第三条直线所截，如下图所示。
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那么，上图中标为a的两个角相等。（如果你还记得术语的话，这两个角叫作内错角。如果两条平行线被第三条直线所截，则内错角相等，这是平行线的一个基本性质。）
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现在，让我们来把平行线的这条性质运用到上图的三角形中去。我们已经画了一条和底边平行的辅助线，如下图所示。
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根据内错角相等的性质，我们可以发现，左上的角a应该等于三角形的内角a。同理，右上的角b也等于三角形的内角b。在三角形的上顶点处，a、b、c这3个角拼成了一条直线，因为直线的角度是180度，因此我们证得三角形内角和确实等于180度。
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毕达哥拉斯的这一证明是数学史上最基础、最重要的证明之一。这种用平行线做辅助线的方法，给了我们无穷的灵感，照亮了我们前进的道路。只要画出这条神奇的平行线作为辅助线，下面的证明方法便呼之欲出，几乎不用思索，就像弗兰肯斯坦博士造出的怪物一样，不用推动自己就会走。
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让我再假设一下。我觉得，如果有一天我们的数学教育能够换一种方法教几何学，强调几何学有趣、直觉和灵感的一面，告诉孩子们灵感的火花有时能给出漂亮又简洁的证明。那么，我想下一代的年轻人会对几何学产生更好的印象，他们在谈到几何学的时候也许会说：几何学不仅教会我逻辑，也教会我如何发挥创造性。
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X的奇幻之旅：在现实生活中发现数学思维之美 [:1701001366]
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X的奇幻之旅：在现实生活中发现数学思维之美 第14章 圆锥的魔法：从回音廊到抛物线
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回音廊是一类很有趣的声学建筑，它的内部结构通常都是某种特定形状的拱顶。纽约市的中央火车站附近有一个著名的回音廊，就在一家名为生蚝酒吧的餐厅外面。回音廊是约会的好地方，你可以和恋人站在人来人往的通道两侧，相距40英尺甚至更远，却仍然可以悄声低语互诉衷肠。只要站对了地方，你们俩可以清晰地听到对方说的话，而通道里的行人却完全听不见你们的对话，真是相当奇妙！
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为了达到这种效果，你和你的恋人需要找到回音廊的对角线，然后分别站在对角线两端的角落里，面对墙壁说话。你们所站的位置，在数学上叫作焦点，焦点是这个空间里的两个特殊的点，站在这里说话，你的声音会被集中放大，然后通过特殊弧度的墙壁和拱顶的反射，传递到你的恋人那里。当你在焦点位置说话时，你说话的声波会向四周传播，撞上四周的墙面并被反射。声波到达各处墙面的时间不一，所以反射的时间和方向也各不一样。这些被反射的声波各行其是，混作一团，当它们传到40英尺开外的地方时，那里的人已经无法听清你所说的话了（所以，经过的路人不会听到你和你的恋人的对话）。但是，当你站在焦点处说话时，所有被墙壁反射回来的声波却会在同一时间到达另一个焦点的位置。这些声波会互相加强，你的恋人因此能够清楚地听到你的声音。
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椭圆形就有这样的聚焦性质，不过比上面的情况要简单许多。如果我们有一个内壁铺满镜子的椭圆形，这个椭圆里就会有两个特殊的点（下图中的F1和F2），它们叫作椭圆的焦点。椭圆的两个焦点有如下性质：从一个焦点发射出的任何光束都一定会被反射到另一个焦点上去。
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也许，这一切听上去并没有什么特别之处，但是这个性质真是非常神奇。只要我换几种说法来表述这一性质，你就会深刻地感受到它的神奇。
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假设有两个男孩子，名叫达斯和卢克，他们喜欢玩激光射击的游戏。激光射击游戏的场所是一个椭圆形的镜廊——一个椭圆形的厅，内壁铺面镜子。达斯和卢克约定，不许用激光直接照射对方，只能通过激光的反射来攻击对方。达斯不大懂几何学，也不熟悉光学，他提议说，不如我们一人站到一个焦点上去吧。卢克说：“好，但是你要让我开第一枪。”你是否看出来了，游戏的结果已经确定了，卢克一定会赢。因为不管卢克选择瞄准什么方向，激光一定会反射到站在另一个焦点上的达斯身上。再差的枪手也不会失手！
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如果你觉得台球游戏比激光射击更有意思，我们就再举一个打台球的例子。想象我们在一个椭圆形的台球桌上打台球，其中的一个球袋是安放在椭圆的一个焦点上的。在这个游戏中，有一种百发百中的打法，那就是：只要把球放在椭圆的另一个焦点上，不管你朝哪个方向击球，不管你打得是否准，也不管球会在桌边的哪一点反弹，最终它一定会进袋。绝对弹无虚发，是不是很神奇？
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除了椭圆形之外，抛物线或者抛物面同样有神奇的聚焦功能。抛物线和抛物面可以把平行的波全部聚焦到一个点上。利用抛物线和抛物面的这种几何学性质，我们可以用它们来放大光波、声波或其他信号。比如，有一种抛物线麦克风, 可以用来收集非常难听清楚的低语，因此抛物线麦克风可以用于监控、执法、窃听等活动。抛物线麦克风还可以用来录制自然界的各种微小的声音，比如鸟的歌声、动物的叫声等，我们看到的关于大自然的精彩纪录片就是用这种方法录音的。此外，在体育比赛的转播中，抛物线麦克风也很有用，有了它我们才可以在一片嘈杂中听清教练诅咒裁判的声音。除了收集声波用的抛物线麦克风，还有用于放大无线电波的抛物线天线。你注意过没有，卫星电视的接收器和用于天文观测的大型射电望远镜都是抛物面形状的。
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把平行波集中到一点，这是很了不起的，这个过程的逆过程同样很有用。抛物线和抛物面还可以把一个点发出的波转化成一束平行的波。比如说，有时我们需要一束很强的指示用光束，比如探照灯或是汽车大灯。如果只是用单个灯泡，即使灯泡的功率再大，效果往往也不理想。因为单个灯泡会使光线发散，这样大部分的光都被浪费掉了，而单一方向上的光会因此明显变弱。要解决这个问题，方法非常简单，只要把灯泡放在一个抛物面反射器的焦点上就可以了。灯泡的光线射到抛物面的银色内壁上会发生反射，抛物面会自动地把灯泡发出的所有光线都朝着一个方向平行反射，这样做会使光的强度大大增加，真是太方便、太好用了！