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X的奇幻之旅：在现实生活中发现数学思维之美 [:1701001366]
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X的奇幻之旅：在现实生活中发现数学思维之美 第14章 圆锥的魔法：从回音廊到抛物线
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回音廊是一类很有趣的声学建筑，它的内部结构通常都是某种特定形状的拱顶。纽约市的中央火车站附近有一个著名的回音廊，就在一家名为生蚝酒吧的餐厅外面。回音廊是约会的好地方，你可以和恋人站在人来人往的通道两侧，相距40英尺甚至更远，却仍然可以悄声低语互诉衷肠。只要站对了地方，你们俩可以清晰地听到对方说的话，而通道里的行人却完全听不见你们的对话，真是相当奇妙！
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为了达到这种效果，你和你的恋人需要找到回音廊的对角线，然后分别站在对角线两端的角落里，面对墙壁说话。你们所站的位置，在数学上叫作焦点，焦点是这个空间里的两个特殊的点，站在这里说话，你的声音会被集中放大，然后通过特殊弧度的墙壁和拱顶的反射，传递到你的恋人那里。当你在焦点位置说话时，你说话的声波会向四周传播，撞上四周的墙面并被反射。声波到达各处墙面的时间不一，所以反射的时间和方向也各不一样。这些被反射的声波各行其是，混作一团，当它们传到40英尺开外的地方时，那里的人已经无法听清你所说的话了（所以，经过的路人不会听到你和你的恋人的对话）。但是，当你站在焦点处说话时，所有被墙壁反射回来的声波却会在同一时间到达另一个焦点的位置。这些声波会互相加强，你的恋人因此能够清楚地听到你的声音。
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椭圆形就有这样的聚焦性质，不过比上面的情况要简单许多。如果我们有一个内壁铺满镜子的椭圆形，这个椭圆里就会有两个特殊的点（下图中的F1和F2），它们叫作椭圆的焦点。椭圆的两个焦点有如下性质：从一个焦点发射出的任何光束都一定会被反射到另一个焦点上去。
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也许，这一切听上去并没有什么特别之处，但是这个性质真是非常神奇。只要我换几种说法来表述这一性质，你就会深刻地感受到它的神奇。
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假设有两个男孩子，名叫达斯和卢克，他们喜欢玩激光射击的游戏。激光射击游戏的场所是一个椭圆形的镜廊——一个椭圆形的厅，内壁铺面镜子。达斯和卢克约定，不许用激光直接照射对方，只能通过激光的反射来攻击对方。达斯不大懂几何学，也不熟悉光学，他提议说，不如我们一人站到一个焦点上去吧。卢克说：“好，但是你要让我开第一枪。”你是否看出来了，游戏的结果已经确定了，卢克一定会赢。因为不管卢克选择瞄准什么方向，激光一定会反射到站在另一个焦点上的达斯身上。再差的枪手也不会失手！
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如果你觉得台球游戏比激光射击更有意思，我们就再举一个打台球的例子。想象我们在一个椭圆形的台球桌上打台球，其中的一个球袋是安放在椭圆的一个焦点上的。在这个游戏中，有一种百发百中的打法，那就是：只要把球放在椭圆的另一个焦点上，不管你朝哪个方向击球，不管你打得是否准，也不管球会在桌边的哪一点反弹，最终它一定会进袋。绝对弹无虚发，是不是很神奇？
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除了椭圆形之外，抛物线或者抛物面同样有神奇的聚焦功能。抛物线和抛物面可以把平行的波全部聚焦到一个点上。利用抛物线和抛物面的这种几何学性质，我们可以用它们来放大光波、声波或其他信号。比如，有一种抛物线麦克风, 可以用来收集非常难听清楚的低语，因此抛物线麦克风可以用于监控、执法、窃听等活动。抛物线麦克风还可以用来录制自然界的各种微小的声音，比如鸟的歌声、动物的叫声等，我们看到的关于大自然的精彩纪录片就是用这种方法录音的。此外，在体育比赛的转播中，抛物线麦克风也很有用，有了它我们才可以在一片嘈杂中听清教练诅咒裁判的声音。除了收集声波用的抛物线麦克风，还有用于放大无线电波的抛物线天线。你注意过没有，卫星电视的接收器和用于天文观测的大型射电望远镜都是抛物面形状的。
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把平行波集中到一点，这是很了不起的，这个过程的逆过程同样很有用。抛物线和抛物面还可以把一个点发出的波转化成一束平行的波。比如说，有时我们需要一束很强的指示用光束，比如探照灯或是汽车大灯。如果只是用单个灯泡，即使灯泡的功率再大，效果往往也不理想。因为单个灯泡会使光线发散，这样大部分的光都被浪费掉了，而单一方向上的光会因此明显变弱。要解决这个问题，方法非常简单，只要把灯泡放在一个抛物面反射器的焦点上就可以了。灯泡的光线射到抛物面的银色内壁上会发生反射，抛物面会自动地把灯泡发出的所有光线都朝着一个方向平行反射，这样做会使光的强度大大增加，真是太方便、太好用了！
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在了解了椭圆和抛物线（抛物面）的聚焦功能以后，你会很自然地想到，这并不只是巧合那么简单吧？抛物线和椭圆有没有深层次的联系呢？这些曲线在更基础的层面上，到底存在什么样的关系呢？
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数学家和阴谋论者有很多共同点：他们都很多疑，尤其对一些神奇又很方便的巧合会疑心很重。好吧，这一次他们的怀疑又对了，椭圆和抛物线（抛物面）都有聚焦功能，这并非巧合，而是有原因的。这种多疑的态度在日常生活中可能会让人觉得你有妄想症，但是在数学上，多疑却是一种值得表扬的精神。在数字和图形的世界里，奇怪的巧合往往说明我们忽略了一些东西，说明我们还没有找到现象背后最本质的东西。奇怪的巧合，说明某些神秘的隐藏力量还没有被我们挖掘出来。
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让我们深入地研究一下椭圆和抛物线之间到底有哪些联系。粗略看来，这两个形状并不相似，好像没有什么关系。抛物线是拱门形状的，是不封闭的，两侧呈一种舒展开来的形态；而椭圆则是扁圆形状的，是封闭的，是收缩的。
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但是，如果我们用“法医”般的眼光来狠狠地审视椭圆和抛物线的内在性质，而不是只看它们表面的样子，就会发现这两种曲线的相似之处。这两种曲线都来自同一个曲线家族，它们之间的联系就好像兄弟姐妹的基因之间的联系一样明显。要看出这一点来，你首先要知道应该看什么。
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为了解释清楚椭圆和抛物线之间的联系，我们必须首先搞清楚它们的定义。到底什么是椭圆，什么是抛物线？
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抛物线是这样定义的：在平面内，到一个定点和一条不经过定点的定直线距离相等的点的轨迹（或集合）。这个定义非常拗口，但是其实它并不难理解，只要把这句古怪的话翻译成一幅图像，它的意思就一目了然了。我们给这个定点起名为F（F是“焦点”一词的英文首字母），给这条直线起名为L。如下图所示。
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现在，根据定义，抛物线包括所有距离点F和距离直线L一样远的点。比如，下图中的P点就满足这个条件，P点在F点的正下方，在点F和直线L间距离的中点上，所以P点显然应该在这个抛物线上。