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让我们深入地研究一下椭圆和抛物线之间到底有哪些联系。粗略看来，这两个形状并不相似，好像没有什么关系。抛物线是拱门形状的，是不封闭的，两侧呈一种舒展开来的形态；而椭圆则是扁圆形状的，是封闭的，是收缩的。
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但是，如果我们用“法医”般的眼光来狠狠地审视椭圆和抛物线的内在性质，而不是只看它们表面的样子，就会发现这两种曲线的相似之处。这两种曲线都来自同一个曲线家族，它们之间的联系就好像兄弟姐妹的基因之间的联系一样明显。要看出这一点来，你首先要知道应该看什么。
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为了解释清楚椭圆和抛物线之间的联系，我们必须首先搞清楚它们的定义。到底什么是椭圆，什么是抛物线？
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抛物线是这样定义的：在平面内，到一个定点和一条不经过定点的定直线距离相等的点的轨迹（或集合）。这个定义非常拗口，但是其实它并不难理解，只要把这句古怪的话翻译成一幅图像，它的意思就一目了然了。我们给这个定点起名为F（F是“焦点”一词的英文首字母），给这条直线起名为L。如下图所示。
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现在，根据定义，抛物线包括所有距离点F和距离直线L一样远的点。比如，下图中的P点就满足这个条件，P点在F点的正下方，在点F和直线L间距离的中点上，所以P点显然应该在这个抛物线上。
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除了P点以外，还有很多其他的点，如P1、P2等，也符合上述标准。实际上，可以说符合这个标准的点有无数个，这些点分别处于P点的左右两侧，如下图所示。
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在上图中，点P1到焦点F的距离是d1，到直线L的距离也是d1。点P2到焦点F的距离是d2，到直线L的距离也是d2。点P1、P2都符合抛物线的定义，还有其他无数个点也是这样，这些点共同组成了一条抛物线。
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为什么我们要把定点F称为抛物线的“焦点”呢？如果我把抛物线想象成一面弯曲的镜子，“焦点”这个词就很好理解了。抛物线的性质是（在此，我不会给出具体的证明）：如果你把一束平行光线垂直照入抛物线镜内，那么所有的光线都会被反射汇集到点F上。于是，点F会立刻变成一个聚焦了强光的点，所以我们称这个点为“焦点”。
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如果你尝试过老式的人工日光浴，它的原理就和上述原理类似。镜子聚集起强光，几乎要把顾客的脸灼伤。曾几何时，大家是那么热爱人工日光浴，可惜的是，当时人们并不了解这种日光浴会提高皮肤癌的发病风险。
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讲述完抛物线的定义，我们再来看看椭圆的定义：椭圆是平面上到两定点的距离之和为常值的点的轨迹。这个定义听起来也有点儿让人头晕，不过只要我们试着根据这个定义画一个椭圆，就会发现其实它一点儿也不难理解。我们需要一支铅笔、一张白纸、一块软木板、两枚大头针和一根细绳。先把白纸铺在软木板上，然后用两枚大头针把细绳的两头钉在纸上，注意不要把绳子绷得太紧。然后，用铅笔拉紧绳子，让绳子成为一条折线，如下图所示。现在，我们可以开始画椭圆了，注意绳子要时刻保持绷紧的状态。铅笔绕着两个大头针转过一整圈回到起点以后，我们就得到一条封闭的曲线，这条曲线就是一个椭圆。
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注意，上述的这种椭圆的画法严格遵照了椭圆的定义。两个大头针就是定义中所说的“两定点”。铅笔到这两个定点的距离之和始终是绳子的长度，因为绳子的长度是不变的，所以椭圆上的点到这两个定点的距离之和是一个常数。
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现在请问：这个椭圆的焦点在哪里？很显然，两个大头针的位置就是椭圆两个焦点的位置。在此，我不打算详细证明焦点的性质，但是别忘了前面提过的达斯和卢克玩激光射击的故事，还有我发明的在椭圆形桌上打台球的故事。这两个游戏里百发百中的关键，就是椭圆焦点的几何性质。
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好了，让我们再次回到我们之前的问题：为什么抛物线和椭圆都有神奇的聚焦功能？为什么只有它们有这种神奇的聚焦功能？抛物线和椭圆共同的秘密到底是什么？
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这个秘密就是：它们都是圆锥的一部分。
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什么？圆锥？你是不是觉得很意外，我们之前根本就没有提到过“圆锥”这个概念。是的，我是故意这么做的。这一切魔力背后的“黑手”正是圆锥，它始终神秘地隐藏在幕后。
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要搞清楚抛物线、椭圆与圆锥有什么关系，我们需要想象自己手持一把菜刀，可以挥刀把圆锥切成一片片的。我们切圆锥的方法就像切黄瓜或者切香肠一样，斜着切，而且斜度越来越大。切圆锥的时候，如果我们完全水平地切一刀下去，那么切面会是一个圆。如下图所示。
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