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1701002670 除了P点以外,还有很多其他的点,如P1、P2等,也符合上述标准。实际上,可以说符合这个标准的点有无数个,这些点分别处于P点的左右两侧,如下图所示。
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1701002675 在上图中,点P1到焦点F的距离是d1,到直线L的距离也是d1。点P2到焦点F的距离是d2,到直线L的距离也是d2。点P1、P2都符合抛物线的定义,还有其他无数个点也是这样,这些点共同组成了一条抛物线。
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1701002677 为什么我们要把定点F称为抛物线的“焦点”呢?如果我把抛物线想象成一面弯曲的镜子,“焦点”这个词就很好理解了。抛物线的性质是(在此,我不会给出具体的证明):如果你把一束平行光线垂直照入抛物线镜内,那么所有的光线都会被反射汇集到点F上。于是,点F会立刻变成一个聚焦了强光的点,所以我们称这个点为“焦点”。
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1701002682 如果你尝试过老式的人工日光浴,它的原理就和上述原理类似。镜子聚集起强光,几乎要把顾客的脸灼伤。曾几何时,大家是那么热爱人工日光浴,可惜的是,当时人们并不了解这种日光浴会提高皮肤癌的发病风险。
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1701002684 讲述完抛物线的定义,我们再来看看椭圆的定义:椭圆是平面上到两定点的距离之和为常值的点的轨迹。这个定义听起来也有点儿让人头晕,不过只要我们试着根据这个定义画一个椭圆,就会发现其实它一点儿也不难理解。我们需要一支铅笔、一张白纸、一块软木板、两枚大头针和一根细绳。先把白纸铺在软木板上,然后用两枚大头针把细绳的两头钉在纸上,注意不要把绳子绷得太紧。然后,用铅笔拉紧绳子,让绳子成为一条折线,如下图所示。现在,我们可以开始画椭圆了,注意绳子要时刻保持绷紧的状态。铅笔绕着两个大头针转过一整圈回到起点以后,我们就得到一条封闭的曲线,这条曲线就是一个椭圆。
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1701002689 注意,上述的这种椭圆的画法严格遵照了椭圆的定义。两个大头针就是定义中所说的“两定点”。铅笔到这两个定点的距离之和始终是绳子的长度,因为绳子的长度是不变的,所以椭圆上的点到这两个定点的距离之和是一个常数。
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1701002691 现在请问:这个椭圆的焦点在哪里?很显然,两个大头针的位置就是椭圆两个焦点的位置。在此,我不打算详细证明焦点的性质,但是别忘了前面提过的达斯和卢克玩激光射击的故事,还有我发明的在椭圆形桌上打台球的故事。这两个游戏里百发百中的关键,就是椭圆焦点的几何性质。
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1701002693 好了,让我们再次回到我们之前的问题:为什么抛物线和椭圆都有神奇的聚焦功能?为什么只有它们有这种神奇的聚焦功能?抛物线和椭圆共同的秘密到底是什么?
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1701002695 这个秘密就是:它们都是圆锥的一部分。
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1701002697 什么?圆锥?你是不是觉得很意外,我们之前根本就没有提到过“圆锥”这个概念。是的,我是故意这么做的。这一切魔力背后的“黑手”正是圆锥,它始终神秘地隐藏在幕后。
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1701002699 要搞清楚抛物线、椭圆与圆锥有什么关系,我们需要想象自己手持一把菜刀,可以挥刀把圆锥切成一片片的。我们切圆锥的方法就像切黄瓜或者切香肠一样,斜着切,而且斜度越来越大。切圆锥的时候,如果我们完全水平地切一刀下去,那么切面会是一个圆。如下图所示。
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1701002704 而如果我们的刀倾斜一点儿,并非完全水平,那么切面就会变成一个椭圆。
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1701002709 随着我们的刀越来越倾斜,切面的椭圆就会越来越窄长和细瘦。切着切着,我们会遇到一个临界点,此时刀的斜度恰好等于圆锥的坡度,切面则变成了一个抛物线。
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1701002714 现在,真相大白了:抛物线其实是一个乔装打扮的椭圆,它是某种临界条件或者极限条件下的椭圆。难怪它会和椭圆一样具有神奇的聚焦功能,它们本来就有相关性。
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1701002716 事实上,圆、椭圆和抛物线都属于同一个曲线家族,这个家族的名字叫作“圆锥曲线”,它们是一个联系非常紧密的大家族。为什么叫作“圆锥曲线”,相信上述内容已经说得很清楚了,因为这些曲线都是通过用一个平面切割圆锥而得到的。“圆锥曲线”家族里还有一个没出场的成员:如果我们的刀斜到几乎竖直的角度(角度大于圆锥自身的坡度),那么切出来的切面会是一个双曲线。双曲线和其他图形不太一样,它是由两条分开的曲线组成的。
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