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为什么正弦波的形状如此常见？这背后有着深刻的数学原因。每当平衡体系变得不稳定的时候——不管失衡的原因是物理的、化学的还是生物的——失衡产生的第一个信号就是正弦波，有时候是一个正弦波，有时候是几个正弦波的叠加。
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正弦波是大自然中各种形状的基石，它就像原子一般重要：没有原子就没有任何物质，没有正弦波就没有任何形状和组织。在拉丁语中“sine qua non”意为某物产生的必不可少的前提和先决条件，其中的sine恰好与英文中的“正弦”一词拼法一致。
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事实上，“正弦生万物”这句话真的一点儿也不夸张。从量子力学的角度上说，万物的基础——原子就是一些正弦波组合（即正弦波的叠加）。从宇宙学的角度来说，正弦波也是世上万物存在的基础。天文学家们通过研究宇宙微波背景辐射的光谱（即其中的正弦波的性质和形态），发现此光谱的性质与“宇宙暴胀理论”的预测最为吻合。目前，“宇宙暴胀理论”是研究宇宙的产生和发展的理论中最为成功的一个。根据宇宙暴胀理论的预测，万物起源于宇宙大爆炸，在大爆炸的过程中，处处均匀的平衡体系变得不稳定，最初的非均匀正弦波也随之产生。这些原始的正弦波是从寂静和虚无中生出的物质和能量所激起的涟漪，它们催生出物质，催生出我们的宇宙。
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恒星、星系、在摩天轮上玩耍的小孩……这一切都来自宇宙大爆炸时产生的正弦波。所以，古人说“无极而太极”，我们说“正弦生万物”。
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X的奇幻之旅：在现实生活中发现数学思维之美 [:1701001368]
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X的奇幻之旅：在现实生活中发现数学思维之美 第16章 圆周率是如何计算出来的？
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上中学的时候，我喜欢和朋友一起钻研一些经典的难题和悖论。比如，最无坚不摧的力量作用于最坚不可摧的东西上，结果会怎么样？很简单，两者都会爆炸。在我们13岁的时候，我们总是能轻而易举地回答各种哲学问题。
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其中有一个问题让我觉得很困惑：如果我和墙壁之间有一段距离，我每次都朝向墙走近距离的1/2，最终我到底能不能走到墙根儿那里去？这个问题令我感觉相当不安：我是否会无限地接近某个东西，却永远无法真正到达呢？（这大概是青春期焦虑的一种高级隐喻吧。）这个念头太恐怖了。无限总像是蒙着一层薄薄的面纱，怎么看也看不透。如果我每次都走近距离的1/2，我是否需要走无穷多步才能贴近墙？而且，我的步长会趋于无穷小吗？这太令人费解了。
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几千年来，这样的问题总是让人类头痛不已。公元前500年左右，埃利亚的芝诺提出了4个关于无穷的悖论，给同时代的人们制造了许多困惑和烦恼。在之后的几个世纪中，无穷的概念一直不被数学界所认同和承认，我想埃利亚的芝诺需要为此负一定的责任。在欧几里得的几何理论中，只承认可以由有限步操作构造出的对象，因为“无限”这个概念被认为太虚无缥缈、太不可言喻，而且在逻辑上也不够严密。
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与欧几里得不同，另一位伟大的古代数学家阿基米德却认识到了无穷的强大力量。借助“无限”的力量，阿基米德解决了一些用其他方法无法解决的问题。在这个过程中，他差一点儿就发明了微积分——这比微积分的最终发明人牛顿和莱布尼茨提早了近2 000年的时间。
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在本书的下一部分里，我会详细讨论微积分这个天才发明的伟大与美丽。现在，我们先看看在计算圆周率p的过程中，微积分的理念是如何崭露头角，并给我们留下了最初的惊鸿一瞥。
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首先，我们来复习一下什么叫作圆周率。圆周率是两个距离的比值，一个距离是圆的直径（穿过圆心且两端均在圆上的线段），另一个距离是圆的周长（整个圆周的长度），周长和直径的比值就是圆周率p。
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如果你是一个谨慎严密的思考者，说到这里你可能已经开始担心了：如何保证所有圆的圆周率都一样？大圆和小圆的圆周率是否会不同？答案是：不会。所有圆的圆周率都一样。要严格证明这个结论并不容易，这里我给出一种比较直觉化的说明。
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假设我们有一台复印机，这台复印机具有缩放功能，可以把圆形的图像放大或缩小，比如说我们把一个圆的形状缩小50%。因为我们用的是复印技术，这样做以后，新产生的小圆图像中的所有距离都比大圆缩小了50%，包括圆的周长和直径。那么，当我们计算小圆的圆周率时，分子和分母上的两个50%应该互相抵消，所以小圆的圆周率和大圆的圆周率完全一致。这个通用的圆周率就是p。
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当然，以上的推导并不能告诉我们圆周率p的值有多大。拿出最原始的工具——绳子和尺子，我们就会发现圆周率p的值约为3。如果你量得再准确一些，
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就会发现圆周率p的值接近于。但是我们还不满意，我们想知道圆周率p的精确值，或者至少知道圆周率p在我们选定的任何精度要求下的估计值。怎么才能做到这一点呢？这个问题把我们的祖先们难住了。
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在揭示阿基米德的天才算法之前，我们先谈谈圆周率p和圆的另一个重要联系。圆的面积公式如下：
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A=pr2
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这个公式里的A是圆的面积；p是一个希腊字母，代表圆周率；r是圆的半径，也就是直径的1/2。