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上图中，牙印般形状的面积和圆的面积是一样的。这个事实看起来毫无用处，因为我们也不知道如何求解这个奇怪图形的面积。但是，通过这个变形的过程，我们却得到了两条很重要的信息：第一，图形下半部标出的两段弧线的长度和是圆周长的1/2（另一半现在变成了图形上半部分的两段弧线）。既然圆周长等于直径乘以圆周率，那么这两段弧线的长度和就应该等于半径乘以圆周率（因为半径是直径的一半）。所以，我们在上图中标示出的这两段弧线的长度和为pr。第二，这个奇怪图形左右两侧的直线部分长度为r，因为这个图形是由4个1/4圆形拼成的，而这两条直线原本就是圆的半径。
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现在，我们来重复上面的步骤。这一次我们不把圆平均切成4份，而是平均切成8份。拼合的方法和上面一样。
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这个展开的形状看起来比上一个好一些。虽然上下边界还是由很多小圆弧组成，但是，参差不齐的程度有所降低。另外一个进步是，左右两边的直线也没有4等分的时候那样倾斜。虽然如此，上一段提到的两个性质却没有变：一是底边长仍为pr；二是左右两边长仍为r。而且，这个牙印形图案的面积显然还是等于切割前的圆形面积，因为我们只不过是把圆形切开并展开了而已。这个圆形的面积，正是我们想要求解的结果。
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按照这个思路，我们把圆形切割成越来越多的小块，然后再拼接起来，看看会发生什么情况。奇迹发生了，那个牙印般的图案越来越像一个长方形，上下两边越来越平滑，左右两边几乎要垂直于水平线了。
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可以想象，当我们把圆切成无限多个等分，再以上面的方法重新拼接，我们就会得到一个长方形。上面的两个性质仍然成立：长方形的底边长为pr，高为r。
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现在，问题已经变得非常简单了。长方形的面积等于长乘以宽，pr乘以r等于pr2。拼接出来的长方形面积等于原来的圆形面积，所以圆的面积是pr2！
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这个解法的美妙之处就在于它引入了无限和极限的概念，这个概念救我们于水火。一开始，那个牙印般的图案看起来十分奇怪，求解它的面积比求解圆的面积还要困难。但只要用上极限这个“武器”，我们终于走到了那面不可抵达的墙的墙根下，一切都变得简单而美丽，云开雾散，豁然开朗。这就是微积分的伟大和美好。
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阿基米德用类似的方法求解出了圆周率。他的想法是这样的：圆可以用正多边形来代替，不断把多边形的边数加倍，最后我们就会得到一个圆。为了控制圆周率的计算精度，阿基米德把圆限制在一个内接多边形和一个外切多边形之间，下图表示了6等分、12等分和24等分的情况。
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然后，阿基米德通过勾股定理来计算这些多边形的周长，从6边形开始，到12边形、24边形、48边形，一直算到了96边形，逐步逼近圆周率的值。用96边形算出的圆周率范围是：
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如果用小数表示（阿基米德的时代还没有小数），那么阿基米德算出的圆周率范围是3.140 8~3.142 9。
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阿基米德使用的这种方法叫作“穷竭法”，因为这种方法把一个未知数p限制在两个已知数之间，然后不断挤压这两个已知数，让这个范围越变越小。多边形的边数不断增加，p的取值范围就不断减小，最终无限逼近于p的精确值。
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运用极限的思路，如果多边形边的数目趋向于无穷大，那么这个上限和下限都会趋近于p。遗憾的是，这个极限并不容易计算，没有之前把圆展开成牙印形图案的例子那么简单。圆周率p依然是那么难以捉摸，我们可以不断地算出小数点后的更多位（目前的纪录是小数点后的2.7万亿位），但却永远无法窥得它的全貌。
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除了为日后的微积分学打下基础以外，阿基米德还向我们展示了迭代的力量。他先算出一个不错的近似值，然后再在这个近似值的基础上，算出更加精确的近似值，一步步逼近准确值。通过增加小直线的数目，阿基米德越来越精确地模拟出一条平滑的曲线。
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2 000多年过去了，这一思路仍然毫不过时，现代的“数值分析”领域正是基于这种迭代的理念。工程师们用数值分析的方法设计流线型的汽车车身，生物学家用数值分析的方法模拟抗癌药物攻击癌细胞的机制。
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数值分析领域内的数学家和计算机学家们运用阿基米德的思想，创造出了很多高效率的迭代算法，有的算法每秒可以运算数十亿步。运用这些算法，世界各地的超级计算机正在不断挑战和解决着现代社会中人类面对的各种问题：从生物技术到互联网科技，再到华尔街的金融交易问题，通通可以用数值分析的方法来解决。这些算法的共同特点是：不断找到更精确的近似值，步步为营地逼近我们想要求得的精确解。
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无限和极限的力量，永无止境！
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