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另一种选择是：沿直线从A点走到B点，因为两点之间直线最短。这种选择的行进总距离肯定最短，但是与上一种选择相比，在积雪中的路程加长了，而且在积雪里走路速度比较慢。这种选择是最优的吗？
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运用导数的知识，我可以求解出耗时最短的最优路径。这个最优路径介于上述两种选择之间，如下图所示。
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具体的求解过程主要有4个步骤。
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第一步，我们应该意识到，从A点走到B点所花的时间（这是我们想要最小化的目标函数），取决于远足者由哪一点离开雪地步入草地，有无数个这样的点供他选择。那么，让我们把所有可以离开雪地进入草地的点都列入考虑范畴，作为我们的未知数。如何描述这个点的位置呢？我们设x为远足者在雪地里移动的总横向距离，这个变量完全可以描述出远足者从何处进入草地。
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当然，从A点走到B点的时间还取决于A点和B点的位置，以及远足者在雪地和草地上的步行速度，但这些参数在这道题目里都被视为已知。远足者唯一可以控制的变量，就是上图中的x。
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第二步，对任何一个给定的x值，因为A点和B点的位置是已知的，我们可以算出步行者穿过雪地和草地走到B点所用的总时间。为了计算在雪地上行走的时间和在草地上行走的时间，我们要用到勾股定理，还要用到我们耳熟能详的一句口诀：“距离等于速度乘以时间”。把雪地上的行走时间和草地上的行走时间相加，就得到了远足者从A点走到B点所用的总时间T。显然，T是x的一个函数。
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第三步，我们画出T随着x变化的函数图像。这个函数图像的最低点就是我们要找的最优解——在那一点，远足者可以花最短的时间从A点走到B点。
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第四步，为了找到这个最低点，我们要用到前面提到的那个性质：最大值和最小值处导数为零。让我们计算出T的导数，令这个导数等于零，然后解出导数为零时x的值。
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这四步求解的过程包含了几何、代数，还有微积分中的多个求导公式。要把数学中的这些知识融会贯通，并不比流利地说一门外语简单，因此很多学生面对这样的题目会感到束手无策。
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这道题目的结果是很有意思的，完全值得我们花上一番工夫。我们解出的最优路径服从所谓的“斯涅尔定律”，斯涅尔定律又称折射定律。有趣的是，不仅题目中的远足者服从斯涅尔定律，大自然也同样遵守着这条定律。
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斯涅尔定律描述了光线从空气中射入水中时的弯曲情况。当明亮的阳光照进闪烁的游泳池中，斯涅尔定律便开始发挥作用。光在水中传播的速度比在空气中传播的速度慢，就像远足者在雪地上比在草地上走得慢一样。远足者为了节约时间而走弯路，光线射入水中的时候也会弯曲，从而使传播所需的时间最小化。同样，当光线从空气中射入玻璃或者塑料的时候也会发生弯曲的现象，比如光透过你的眼镜片时，就会有折射现象发生。
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奇怪的是，光竟然如此“聪明”，它仿佛考察过了所有可能的路径，然后，精确地选择了其中耗时最短的最优路径。大自然似乎也懂得微积分（此处请播放《迷离时空》的主题曲）！
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X的奇幻之旅：在现实生活中发现数学思维之美 [:1701001371]
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X的奇幻之旅：在现实生活中发现数学思维之美 第18章 积分谱成的优雅数学变奏曲
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对普通人来说，数学中用到的符号往往都显得很神秘。我觉得最好的数学符号是那些一眼就能看出含义的符号。比如零（0）、一（1）和无穷大（∞）的符号就非常巧妙。0就像一个空洞，1是孤零零的一个符号，无穷大的符号∞看起来则像一个神秘的永无止境的环。等号（=）是由两根等长的平行线构成的。等号的发明人、威尔士数学家罗伯特·雷科德表示：“再没有两个东西能比这两条平行线更相似的了。”
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在微积分的内容中，最具标志性的符号是积分符号：
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