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但是，如果变化的速率不是常数呢？要是变化的速率自己也会变化，该怎么办？这种情形在现实世界比比皆是：从高楼上掉下来的物体是不断加速的，涨潮落潮和洋流运动都不是匀速的，星体在椭圆轨道上的运行速度是变化的，我们体内的生物钟也是时快时慢的。对于这些速率非恒定的变化，只有微积分才能度量出它们积累下来的总体效果。
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在阿基米德身后近2 000年的时间里，度量变速变化的总体累积效果只有一个办法：把整体切成很多小块，然后一块一块地加总起来。对其中的每一个小块，我们必须假设它的变化速度是恒定的，再使用类似“距离等于速度乘以时间”的方法解决这一小块的问题。然后，我们不断地重复这个过程，把每一个小块都处理完。很多时候，即使付出艰苦的努力，问题也无法解答，因为无限加总是一件非常困难的事情。
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当微积分基本定理产生后，很多这类问题一下子就迎刃而解了。当然，也不是说所有问题都变得可解，但很大一部分这类问题确实变得容易解了。微积分基本定理给出了很多常见函数（如幂函数的和、幂函数的乘积、指数函数、对数函数、三角函数等），很多自然界的现象都可以用这些常见的函数来描述。有了微积分基本定理，人类一下子往前迈出了一大步。
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微积分基本定理的内容到底是什么呢，为什么它如此有用？我想用一个比喻来回答这个问题，希望这个比喻能给你一个形象的认识（这个比喻是由我的一位同事、纽约大学的查理·佩斯金想出来的）。想象一个楼梯：从楼下到楼上的总高度变化等于各级台阶高度的加总。即便这个楼梯的台阶是不均匀的，有的台阶高一些，有的台阶矮一些，从楼下到楼上的总高度变化仍然应该等于各级台阶高度的加总。想知道这个总高度是多少，有两种办法，一是计算出每级台阶的高度再加总，二是直接计算出楼梯最高点和最低点的高度差。
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微积分基本定理其实就是说了一个简单的道理，只不过对象不是楼梯，而是函数。如果你把一个函数的导数从一点到另一点求积分，那么你就会得到这个函数在这两点之间的净变化。运用楼梯的比喻，函数就是每一级台阶到水平面的海拔高度，一级级台阶的高度就像一个个导数，对导数求积分就像把一级级台阶的高度加总，积分的起点和终点就是楼梯的底端和顶端。
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为什么这个定理如此有用？因为求出很多个数字的和是非常困难的，当你通过切块并研究每一个小块的方法来进行加法运算，你面对的正是这样的难题。但是，如果你能找到对应的楼梯——换句话说，如果你能找到一个关于楼梯高度的函数，并且这个函数每个台阶的高度正好等于你要加总的这些数字——那么积分运算就变得非常简单了：只要用楼梯顶部的高度减去楼梯底部的高度就可以了。
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这就是微积分基本定理的好处，它极大地提高了计算的效率。正是基于这个原因，我们才会每年用这些知识难倒一批又一批的学生，逼迫他们花好几个月的时间学习如何找出这个楼梯高度的函数——这个技术的学名是“不定积分”，我们还可以把它称为求“反导数”的过程。正是因为有了这个技术，数学家们才能在这个充满变化的纷繁复杂的世界里，以更高的精度预测很多之前无法预测的东西。
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从这个角度来说，微积分是在用一种多功能切菜机般的态度来看待我们的宇宙。牛顿以及后来的数学家们发现，自然的本质就是，万物都是一小块一小块拼凑出来的。过去300年来发现的所有物理定律几乎都符合这个性质：不管是粒子的运动、热和电的传导，还是空气或水的流动，都可以看作一小块一小块的。每一小块时间或空间里的情况除了受到整体的控制之外，还受到相邻小块情况的影响。
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这一发现的应用是极为深远的。自有人类历史以来，我们第一次掌握了理性预测的能力。而且，有了微积分基本定理的帮助，我们不再需要耗时费力地逐块计算，而是可以高效优质地计算。
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我想，读到这里，我们应该更新一下微积分学的口号：“重新计算，发现更优途径！”
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X的奇幻之旅：在现实生活中发现数学思维之美 [:1701001372]
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X的奇幻之旅：在现实生活中发现数学思维之美 第19章 指数e：关乎你婚姻成败的数字符号
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在数学中，有些数字特别有名，以至于它们有了自己专属的符号，一般这种“专属符号”都是单字母的。这可是一件大事，连麦当娜和王子（美国著名的流行音乐歌手）都还没有获得过这样的殊荣。这其中最有名的恐怕要数圆周率p了，p这个数字写成小数的话就是3.141 59……
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接下来，比较知名的就是虚数i，i是代数界的“时尚潮人”。这种“虚构出来的数”在代数学里掀起了巨大的风潮，它彻底地改写了数字的定义。
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让我们再跟e问声好吧。之所以起名为e，是因为它代表指数（exponential）的增长。e简直是高等数学里的西力（伍迪·艾伦执导电影《西力传》的主角），哪里都有它，你能想到的地方以及你想不到的地方，全都有e的身影。e不仅可以用来描述核能源的链式反应和人口爆炸，还能告诉你结婚之前交往多少个女友（男友）最合适。
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在谈论这个大家极为关心的婚恋问题之前，请允许我卖一下关子。让我们先来搞清楚，到底什么是e。e的数值是2.718 28……但是这个数字实在说明不了太多问题。我可以告诉你，e是一个无限数列的和，这个数列形式如下。
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我相信大部分读者看了这个数列以后，仍然不能理解e到底是何物，为了给大家一个直观的印象，我们来看看e的应用。
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假设你把1 000美元的本金存入银行，这家银行特别慷慨，承诺给你100%的年利息，每年复利一次。一年以后，你的账户里已经有2 000美元的资金了——本金为1 000美元，100%的利息是1 000美元，共计2 000美元。
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当你发现银行特别慷慨之后，你决定更进一步，要求更高的利息，但是银行不肯答应。如果利率保持不变的话，能不能提高计息的频率呢？比如，利率仍然是100%，但是改为每半年复利一次——也就是说，6个月之后，银行付给你50%的利息，然后在接下来的6个月之后又付给你50%的利息。显然，对储户来说，这种计息方式比每年复利一次更加有利，因为半年后拿到的利息可以更快地利滚利。但是，半年复利一次到底能比一年复利一次多赚多少钱呢？让我们来算一算。
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半年后，银行支付给你50%的利息，于是你的本金变成原来的1.5倍。再过半年，银行又支付给你50%的利息，此时你账户里的钱和半年前相比又涨了1.5倍。1.5乘以1.5等于2.25，所以一年后，你的1 000美元的本金已经变成了2 250美元。与每年复利一次的情况相比，每半年复利一次可以让你一年多赚250美元。
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如果你不停地和银行谈判，让银行在保持利率不变的前提下把复利的频率加快——每天复利一次，每秒复利一次，每纳秒复利一次，你是不是就发财了呢？我们还是有必要计算一下再下结论。
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为了让计算变得简单一些，我们把1年平均分为100个时段，每个时段复利一次。也就是说，每个时段结束之后，银行给你1%的利息（所以，年利率仍然为100%），你账户里的钱会变成原来的1.01倍；一年后，账户总额变为原来的1.01的100次方倍，即大约2.704 81倍，1 000美元的本金变成了2 704.81美元。
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让我们再总结一下，每年复利一次，年末你共有2 000美元；半年复利一次，年末你共有2 250美元；每年复利100次，年末你共有2 704.81美元。