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我们还可以对这个简化的模型进行一些改进，从而让它变得更加现实。比如，罗密欧的感情变化不仅受到朱丽叶感情的影响，还受到他自身感受的影响。比如，有些男人总怕自己对女友太过热情会令对方生厌，所以这些人会在自己感情强烈的时候刻意让自己冷静下来，或许罗密欧正是这样的人。但罗密欧也有可能属于另一种截然相反的性格：他对“恋爱的感觉”远超过爱对方，这种人越爱对方，就越会被恋爱的感觉所陶醉，从而爱得更加热烈。
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除了上面的两种不同的性格之外（对自己感情的反应），罗密欧如何回应朱丽叶对他的感情也有两种不同的可能性（正反馈和负反馈）。综合这两点，我们可以发现，恋人可能有4种不同类型的性格，不同情侣之间的恋爱关系也会因此大相径庭。当我和同事彼得·克里斯托弗在伍斯特理工学院教书的时候，我们两人班上的学生甚至还给这4种恋爱性格类型起了五花八门的名字。那种会自动给自己炙热的感情降温，对对方的感情也会给出负反馈的恋人，被命名为“隐士”或“恶毒的孤独者”；而自己会越爱越兴奋的人，被叫作“书呆子自恋狂”或者“不会爱又非要调情的神经病”（你也可以自己给这几种类型起几个名字，我觉得挺好玩的）。
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虽然我举出的这些例子可能古怪又好笑，但其中用到的那些微分方程式却绝对是深刻实用的。人类发明了许许多多的工具来解释物质世界，到目前为止，微分方程是这些工具中最好用的。牛顿用微分方程式解开了困扰人类多年的难题——星体的运动问题。通过研究，牛顿证明了地球和其他天体并无本质区别，它们都服从同样的运动定律。
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在牛顿去世后的近350年的时间里，人类慢慢地认识到，所有物理定律都是用微分方程式来表达的。热传导的规律是微分方程式，水和空气的流动规律是微分方程式，电和磁的规律是微分方程式，就连陌生而违背直觉的原子领域和量子力学也都是微分方程式的天下。
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不管研究的对象是什么，整个理论物理学科都在做同一件事：找到合适的微分方程式，并且想办法把它求解出来。牛顿发现了宇宙的秘密，因为这个秘密太过珍贵，牛顿只肯以拉丁语字谜的形式把这个秘密公之于众。粗略地翻译一下，牛顿发现的宇宙的秘密就是：解微分方程式真有用。
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而我又是如何发现爱情的微分方程式的呢？在我大二那年的暑假，我陷入了人生中第一次浪漫的爱情。我的初恋对象是一个性情古怪的姑娘，她总是做些令我完全无法理解的事情。在绞尽脑汁研究她的行为和动机的过程中，我发明了本章开头的微分方程爱情模型，这一想法是多么智慧，看上去又是多么愚蠢。当年的我就像本章一开头说的罗密欧一样，而我爱的人正是那个反复无常的朱丽叶。我们的爱情总是在反复，永远不能同步。终于我意识到，我和她的行为都是机械的，我们其实一直在以两个简单的方程式为准则，没完没了地你拉我扯、你进我退。我以为自己参透了爱情的奥秘。可惜，在那年夏天快结束的时候，我的微积分方程爱情模型似乎也不管用了，而我更是无法参透其中的原因。最后我发现，原来我的模型根本少计算了一个变量，一个我不知道的变量——她有一个想和她再续前缘的前男友。
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这样的情形在数学上叫作“三体问题”，这类问题产生于天文学领域，是出了名的难题。在成功解出了“两体问题”的微分方程式（从而解释了为什么行星沿椭圆轨道绕太阳旋转）以后，牛顿转攻太阳、地球、月亮之间的“三体问题”。然而，天才的牛顿没能解出三体问题，其他人更是没有成功。后来，数学家们发现，原来三体问题蕴含着“混沌”的种子，从长期来看，三体的行为和运动是不可预测的。
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在牛顿的时代，还没有混沌这个概念，有聪慧头脑的牛顿也不知道什么是“混沌系统”。牛顿的朋友埃德蒙·哈雷说，牛顿曾向他抱怨三体问题太难解决。牛顿说：“三体问题让我很头痛，为了这个问题我常常睡不着觉。我想不出来了，我不得不放弃这个问题。”
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亲爱的艾萨克·牛顿爵士，你真是说出了我的心声。
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X的奇幻之旅：在现实生活中发现数学思维之美 [:1701001374]
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X的奇幻之旅：在现实生活中发现数学思维之美 第21章 向量微积分：带人类走向现代化的使者
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迪卡西奥先生是我的高中老师，他严厉又不好相处，戴着一副古板的黑框眼镜，说话方式尖酸刻薄。我想很少有人会觉得这样一位先生具有魅力，但我觉得迪卡西奥先生对物理学的热情就很令人着迷。
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有一天，我告诉迪卡西奥先生，我正在读爱因斯坦的传记。书中写道：“爱因斯坦上大学的时候，他觉得麦克斯韦的电磁方程组非常令人头晕。”我对迪卡西奥先生说，我真想赶快多学一些数学知识，这样我就能看懂麦克斯韦电磁方程组了。
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我就读的学校是一所寄宿学校，当时我正和迪卡西奥先生同坐在一张餐桌前吃晚饭，同桌吃饭的还有迪卡西奥先生的太太和两个女儿，以及另外几位学生。当我说上述这段话时，迪卡西奥先生正在给我们盛土豆泥。一听到“麦克斯韦方程组”这几个字，迪卡西奥先生立刻扔下勺子，拿起一张餐巾纸就在上面奋笔疾书地写了起来。他画下一些线条，又写出一些神秘的符号。迪卡西奥先生一边写，一边嘴里还念念有词地说着：“旋度的旋度等于散度的梯度减去拉普拉斯平方……”
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当时我心想，迪卡西奥先生在念叨什么呀。长大以后我明白了，他说的内容其实是向量微积分。向量微积分是数学的一个分支，专门用来描述我们周围那些看不见的“场”：让指北针指向北方的磁场，让你坐的椅子落在地上而不是飘在空中的重力场，把你的晚餐炸得像核武器爆炸现场的微波场……
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向量微积分最大的成就是，它把数学和现实空前紧密地结合了起来。麦克斯韦的故事以一种奇怪的方式，彰显了数学在解释自然方面的简直不可言喻的无穷威力。仅仅是改变了几个符号的位置，麦克斯韦就破解了一个困扰人类已久的问题：光究竟是什么？
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为了让大家更好地了解麦克斯韦究竟做了些什么，以及搞清楚什么是向量微积分，首先让我们一起研究一下“向量”这个词。“向量”（vector）一词来自拉丁语词根vehere，意为“携带”。我们今天所使用的“车辆”（vehicle）、“传送带”（conveyor）等英文单词也都来自同一个词根。这也是为什么vector一词除了可解释为“向量”以外，还可以解释为“传染媒介”。对流行病学家来说，vector是病原的携带者，比如把疟疾传染给病人的蚊子就是一个vector。对数学家来说，vector则是把你从一个地方带到另一个地方的“脚步”（当然，这只是向量最简单的意思）。
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看看下面这张图吧，这是一张为跳舞的人设计的舞蹈说明书，这些箭头告诉舞者，跳伦巴舞的时候，应该以什么样的顺序移动左右脚。
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上图中的那些箭头就是向量。向量包含两种信息，一是方向（向什么方向迈出脚），二是长度（这一步迈出的幅度有多大）。每一个向量都含有上述两种信息。
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和数字一样，向量也可以做加减法运算。但因为向量含有方向的信息，所以向量的加减法运算比数字的加减法运算要复杂一些。只要你能紧紧抓住向量的定义，把它们看作舞步的说明书，向量的加减法运算就不那么难了。比如，向东一步与向北一步的和是多少？显然，这两个向量的和应该是一个指向东北方向的向量。
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神奇的是，速度与力的加减法运算和舞步的加减法运算的性质完全一样。任何模仿过桑普拉斯的正手球的网球选手都应该对这个道理有很深的体会。桑普拉斯能够一边全力向边线冲刺，一边打出直指底线、落点非常准确的正手球。在模仿桑普拉斯的时候，如果你幼稚地向你希望的落点方向击球，球就一定会落到别的地方去，因为你忘记考虑你自己的跑动速度了。球相对于场地的速度是两个向量的和：一是球相对于你的速度（一个指向你瞄准方向——底线方向——的向量），二是你相对于场地的速度（一个指向边线的向量）。要想让球飞向底线，你瞄准的时候必须稍稍偏向场地的另一边，这样才能抵消你向场边跑动的速度。
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