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在一个磁场中，向量的大小和方向都各不相同。就像之前介绍的微积分一样，要度量这种变化，我们需要用到导数。在向量微积分中，导数的运算符号叫作del，这个词念起来仿佛带着亲切的美国南方口音。实际上，del的来源是希腊字母△（代尔塔，在数学中这个字母一般用来表示一个变量的“变化”），为了表示这种亲缘关系，在向量微积分中del被记作，这个倒三角就是迪卡西奥先生在餐巾纸上写下的神秘符号。
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使用del这一运算符号，求向量的导数有两种方法，这两种方法都很自然。第一种方法给出的是场的“散度”，“散度”这个词也在迪卡西奥先生的“咒语”中出现过。散度究竟是什么呢，请看下图的向量场。这张图描述了水流如何从左侧的水源流入右侧的水槽。
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之前我们曾用铁屑来追踪磁场这种向量场，现在让我们想象水面上飘着很多小木片或是小树叶，这样我们就可以通过观察这些小木片或小树叶的排列，来判断水流在每一个点上的流动情况。假如我们在水源的周围把小木片排成一个小圈，那么这些小木片会怎么运动呢？显然，因为水会从水源流向四周，所以水源周围的小木片会分散开来，这个小圈会扩散变大。小木片“散”开了，“散开的程度”越大，圆圈扩散变大的速度也就越快。而这个小圆圈扩散变大的速度，就是这个向量场的“散度”。
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下图描绘的是这个向量场在各个点上的散度数值：散度是通过灰度的深浅来表示的。明亮的区域是散度为正的区域，暗沉的区域是散度为负的区域（散度为负说明，如果在此处摆出一个木片围成的小圆圈，那么这个小圆圈会收缩变小）。
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向量微积分的另一种导数形式，是向量场的“旋度”。粗略地说，旋度度量的是向量场在一个给定点的卷曲程度有多强。回想一下天气预报里卫星气象图上的台风或者热带风暴旋转卷曲的样子，在一个向量场里，如果一个区域看起来像云图里的台风，那就说明这个区域的旋度非常大。
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就像之前用明暗来描绘散度一样，我们同样可以用明暗来描绘旋度。明亮的部分表示旋度为正，暗沉的部分表示旋度为负。旋度的信息还告诉我们水流究竟是朝顺时针方向旋转还是朝逆时针方向旋转。
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旋度的概念对于研究流体力学和空气动力学的科学家们来说非常有用。几年前，我的同事王简用电脑模拟了蜻蜓在空中悬停时身体周围的气流情况。通过计算向量场的旋度，王简发现当蜻蜓扇动翅膀的时候，它的翅膀下面会形成若干对反向的气流旋涡，这些气旋就像一些小型的龙卷风一样。正是这些迷你龙卷风产生的升力，让蜻蜓得以悬停在空中不落下来。向量微积分使我们能够理解蜻蜓、熊蜂和蜂鸟的飞行原理，这些问题光靠传统的固定翼空气动力学是无法解决的。
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了解了散度和旋度的概念以后，我们现在可以向麦克斯韦方程组进发了。麦克斯韦方程组表达了电磁学的4条基本定律，一是电场的散度，二是电场的旋度，还有两条分别是磁场的散度和旋度。散度方程式描述电磁场和电磁场源的关系，电磁场源是指产生电磁场的带电粒子或电流。而旋度方程式则描述电磁场如何随着时间变化以及如何相互作用。通过这4个方程式，麦克斯韦向我们揭示出一个完美的对称关系：一个磁场随时间变化的速率与另一个磁场随空间变化的速率（磁场随空间变化的速率就是旋度）是相互关联的。
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在麦克斯韦的时代，向量微积分还未被发明，但是，通过运用与向量微积分极为类似的数学技巧，麦克斯韦推导出了上述4个方程式的逻辑推论。通过以某种方式改变一些符号的顺序，麦克斯韦推导出电磁场是以波的形式传播的，就像池塘水面的涟漪慢慢地传向远方。但是，电磁场的传播方式很特别，电场和磁场就像一对互利共生的有机体一样，互相维系着对方的存在。电场的变化产生磁场，磁场的变化又产生新的电场，如此反复不竭。电生磁，磁生电，电场和磁场就这样携手前进，缺了任何一方，另一方都将无法进行传播。
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电磁波就这样被发现了！这当然是一个突破性的发现，但是更精彩的发现还在后面。通过已知的电和磁的性质，麦克斯韦计算出了这种刚被发现的“假想”波的传播速度。推导方程式显示，电磁波的传播速度是每秒193 000英里，而这是大约10年前法国物理学家伊波利特·菲佐才测出的光速！
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我多么希望我能早出生100多年，可以亲眼见证这个光辉而伟大的时刻：经过不懈的努力，人类终于第一次认识了光的真正性质！通过发现电磁波，麦克斯韦把自古以来一直困扰人类的3种神秘力量统一了起来。麦克斯韦告诉我们：电、磁和光，这3种看似毫无联系的自然现象，其实都有着相同的本质。虽然之前的一些实验物理学家，如法拉第和安培等人也或多或少地找到了一些线索，但只有麦克斯韦凭借他手中的数学武器，第一次真正地解开了这道旷古谜题。
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如今，我们的现代化生活已经被麦克斯韦发现的电磁波所包围：收音机、电视机、手机、无线网络……这些都是麦克斯韦的符号戏法所创造的传奇。
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X的奇幻之旅：在现实生活中发现数学思维之美 [:1701001375]
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X的奇幻之旅：在现实生活中发现数学思维之美 第5部分 数据
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