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向量微积分的另一种导数形式，是向量场的“旋度”。粗略地说，旋度度量的是向量场在一个给定点的卷曲程度有多强。回想一下天气预报里卫星气象图上的台风或者热带风暴旋转卷曲的样子，在一个向量场里，如果一个区域看起来像云图里的台风，那就说明这个区域的旋度非常大。
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就像之前用明暗来描绘散度一样，我们同样可以用明暗来描绘旋度。明亮的部分表示旋度为正，暗沉的部分表示旋度为负。旋度的信息还告诉我们水流究竟是朝顺时针方向旋转还是朝逆时针方向旋转。
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旋度的概念对于研究流体力学和空气动力学的科学家们来说非常有用。几年前，我的同事王简用电脑模拟了蜻蜓在空中悬停时身体周围的气流情况。通过计算向量场的旋度，王简发现当蜻蜓扇动翅膀的时候，它的翅膀下面会形成若干对反向的气流旋涡，这些气旋就像一些小型的龙卷风一样。正是这些迷你龙卷风产生的升力，让蜻蜓得以悬停在空中不落下来。向量微积分使我们能够理解蜻蜓、熊蜂和蜂鸟的飞行原理，这些问题光靠传统的固定翼空气动力学是无法解决的。
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了解了散度和旋度的概念以后，我们现在可以向麦克斯韦方程组进发了。麦克斯韦方程组表达了电磁学的4条基本定律，一是电场的散度，二是电场的旋度，还有两条分别是磁场的散度和旋度。散度方程式描述电磁场和电磁场源的关系，电磁场源是指产生电磁场的带电粒子或电流。而旋度方程式则描述电磁场如何随着时间变化以及如何相互作用。通过这4个方程式，麦克斯韦向我们揭示出一个完美的对称关系：一个磁场随时间变化的速率与另一个磁场随空间变化的速率（磁场随空间变化的速率就是旋度）是相互关联的。
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在麦克斯韦的时代，向量微积分还未被发明，但是，通过运用与向量微积分极为类似的数学技巧，麦克斯韦推导出了上述4个方程式的逻辑推论。通过以某种方式改变一些符号的顺序，麦克斯韦推导出电磁场是以波的形式传播的，就像池塘水面的涟漪慢慢地传向远方。但是，电磁场的传播方式很特别，电场和磁场就像一对互利共生的有机体一样，互相维系着对方的存在。电场的变化产生磁场，磁场的变化又产生新的电场，如此反复不竭。电生磁，磁生电，电场和磁场就这样携手前进，缺了任何一方，另一方都将无法进行传播。
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电磁波就这样被发现了！这当然是一个突破性的发现，但是更精彩的发现还在后面。通过已知的电和磁的性质，麦克斯韦计算出了这种刚被发现的“假想”波的传播速度。推导方程式显示，电磁波的传播速度是每秒193 000英里，而这是大约10年前法国物理学家伊波利特·菲佐才测出的光速！
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我多么希望我能早出生100多年，可以亲眼见证这个光辉而伟大的时刻：经过不懈的努力，人类终于第一次认识了光的真正性质！通过发现电磁波，麦克斯韦把自古以来一直困扰人类的3种神秘力量统一了起来。麦克斯韦告诉我们：电、磁和光，这3种看似毫无联系的自然现象，其实都有着相同的本质。虽然之前的一些实验物理学家，如法拉第和安培等人也或多或少地找到了一些线索，但只有麦克斯韦凭借他手中的数学武器，第一次真正地解开了这道旷古谜题。
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如今，我们的现代化生活已经被麦克斯韦发现的电磁波所包围：收音机、电视机、手机、无线网络……这些都是麦克斯韦的符号戏法所创造的传奇。
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X的奇幻之旅：在现实生活中发现数学思维之美 [:1701001375]
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X的奇幻之旅：在现实生活中发现数学思维之美
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X的奇幻之旅：在现实生活中发现数学思维之美 第5部分 数据
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X的奇幻之旅：在现实生活中发现数学思维之美 [:1701001376]
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第22章 长尾分布：从减税额到恐怖袭击事件
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最近，统计学突然变成了一门特别时尚和热门的科学。这也许得益于互联网的兴起、电子商务的盛行、社交网络和人类基因组计划，总而言之，数字文化的流行使我们的社会突然之间充满了数据。市场营销部门通过数据研究顾客的习惯和喜好；网络信息系统在悄悄地收集我们所在的位置、我们的电子邮件和电话信息；体育统计学家通过分析大数据决定招收哪些队员，派谁上场参与比赛，以及最后一轮进攻机会中距离底线还有两码的时候要不要进攻。每个人都想画点和连线，每个人都想从数据的“大草垛”里翻出“金鸡蛋”来。
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随之而来的是，教育专家们对于“人人都要学习统计学”的呼吁。2010年，哈佛大学的著名经济学家格里高利·曼昆在《纽约时报》的专栏中写道：“美国高中的数学课程应该进行改革了，孩子们在欧几里得几何学和三角学上花了太多的时间。对于一个普通人来说，几何学和三角学当然是锻炼智力的好方法，但是在现实生活中却几乎没有什么实际用处。我认为多学一些概率学和统计学方面的知识对孩子们的发展更有帮助。”《纽约时报》的评论员戴维·布鲁克斯说话更不客气，在谈到学过哪些课程才算是受过良好的教育时，布鲁克斯在专栏里写道：“学统计学吧。这样说或许有点儿不礼貌，不过步入社会以后，你的发展际遇或好或坏，到时候你就会发现，知道什么是标准差对你的人生大有裨益。”
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是的，知道什么是标准差能帮你更好地面对人生的高峰和低谷，但我认为你更需要了解的是另一个概念：概率分布。下面，就让我们从概率分布入手，展开我们的统计学之旅。之所以选择这个切入点，是因为概率分布这个概念展示了统计学的核心观点：那些看来杂乱无章、完全无法预测的独立个体，从整体上来看却可能是极为有序和完全可预测的。
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你可能在科学博物馆里见过下面这个装置（如果没有见过的话，可以上网搜索相关视频）。这个装置叫作高尔顿板，它看起来有点儿像我们平时玩的弹球机，只不过这个装置没有弹球杆，而且它的缓冲板分布得很均匀，形成一个金字塔形。
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