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谷歌的搜索算法给每个网页打一个分数，这个分数叫作“网页排序号”，是一个介于0和1之间的数字。“网页排序号”考虑一个假想的上网者，他会在这个网页上花掉的时间占总上网时间的多大比例？通过回答这个问题，我们可以度量一个网页相对于其他网页的重要程度。这个假想的上网者是这样上网的：如果一个网页上有另外几个网站的链接，他就会从这些链接中随机选择一个点击，点击每个链接的概率相等。在这个假设条件下，一个网页的访问量越大（我们假想的上网者的访问量，不是实际互联网用户的访问量），这个网站就越重要。
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因为“网页排序号”的定义是（假想上网者）访问这个网站的时间占总上网时间的比例，所以网络上所有网页的“网页排序号”的总和必然为1。根据守恒定律，我们还可以把“网页排序号”想象成一股水流，这股水流在网页间流动，从体验不佳的网页不断地向体验良好的网页汇聚。谷歌的算法考察的就是，从长期来看，这股水流如何分配到网络中的各个网页中。
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为了算出水流的分配，我们需要一个巧妙的迭代算法。首先，我们对每个网页的“网页排序号”进行一个粗略的估计，用这个猜测值作为迭代的初始值。然后，我们考虑水流如何不断地分流到新的网页中，规则是：如果一个网页上有另外几个网站的链接，假设上网者就从这些链接中随机选择一个点击，点击每个链接的概率相等。这个过程不断地进行下去，直到水停止流动，每个网页的访问量稳定下来。
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一开始，谷歌的算法比较宽泛：每个网页的初始值都一样。比如，我们的迷你网络共有3个网页，那么每个网页的“网页排序号”的初始值都是1/3。
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然后，我们开始进行迭代计算，以便更好地估计出每个网页在网络中的重要程度。在每一轮迭代计算中，每个网页把上一轮终止时的水量（网页排序号）平均分流到它链接的各个网页中。在我们的模型里面，第一轮结束时，X的网页排序号仍然是1/3，因为只有网页Z向网页X输水，网页X从网页Z处获得了1/3的水量。网页Y的水量则下降为1/6，因为Y只获得了X一半的水量。X的另一半水量（1/6）流向了Z，同时Z还从Y处获得了1/3的水量，所以Z获得的总水量是1/2。第一轮结束时，网页X、Y和Z的水量如下图所示。
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第一轮结束，第二轮开始，水量分流的规则和上一轮一样。如果我们用（x，y，z）来表示网页X、Y、Z当前的网页排序号，那么分流的情况可以用如下的方程式来描述：
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x‘、y‘、z‘分别表示x、y、z更新后的值。这种迭代算法可以用Excel办公软件完成（对于我们的迷你网络，其实手算就可以了）。
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经过10轮迭代计算，我们会发现页面X、Y、Z的网页排序号的值趋于稳定，再继续进行迭代计算的话，每轮数值的改变很小。10轮迭代计算之后，X获得40.6%的水量，Y获得19.8%的水量，Z获得39.6%的水量。这3个数字分别趋近于40%、20%、40%。我们可以猜测，这些数值已经向均衡状态收敛，而均衡状态的值正是40%、20%、40%。
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谷歌也是利用这样的算法，把均衡状态下的极限值记为每个网页的网页排序号。
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这个算法的结论是，在这个迷你网络中，虽然有两个外链接指连向网页Z，但是网页X和网页Z其实一样重要。这个结果并不奇怪，因为Z用全部流量支持X，而X却只用一半流量回报Z，把另一半给了Y。这也解释了为什么网页Y的最终得分是X和Z的1/2。
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神奇的是，这个最终得分可以直接算出，而不需要经过这个复杂的迭代计算过程。想一想，均衡的定义是什么？如果系统不再发生变化，那就说明系统已经达到了稳定的“均衡状态”，所以均衡状态的定义就是x‘=x，y‘=y，z‘=z。把这3个方程式代入上面的方程组，我们就得到：
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很容易解出x= 2y=z。最后，别忘了x、y、z这3个数字之和为1。所以，最后的答案是x= 2/5，y= 1/5，z= 2/5。这个得数和我们迭代计算的结果是完全一致的。
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这道题已经解决了，接下来我们应该研究一下这道题和线性代数到底有什么关系。不管是表示均衡状态的方程组，还是上面表示x、y、z更新变化的方程组都是典型的线性方程式。这种方程式之所以叫作线性方程式，是因为它们和直线有关。在这些方程式里，所有变量都是一次方的形式，与中学代数课上的直线方程式（一次方程式）y=mx＋b的形式完全一样。
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与非线性方程式相比（比如含有x2、yz、sinx等项的方程），线性方程式是比较容易求解的。但是如果线性方程组有很多个未知数，问题就变得比较复杂，互联网的情况正是如此。线性代数的核心目标之一，就是不断发明更快、更有效率的算法，去求解巨大的线性方程组。线性方程组解法、算法上的细微提高，就会给我们的日常生活带来极大的便利：航班排期会更合理，图像压缩技术会更有效率，网络搜索会更快速准确。
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线性代数在现实世界中最大的胜利，可能要算网络搜索问题的解决了。“什么样的网页是最佳网页呢？最佳网页是那些链接着其他最佳网页的网页”，这句话用数学语言来表述，就是网页排序号的线性方程组。
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谷歌使用的线性方程组和我们上面求解的方程组并无本质区别，只不过我们的方程组只有3个未知数，而谷歌要解决的方程组却有数十亿个未知数。当然，对谷歌来说，解出这数十亿个未知数，意味着会有数十亿美元的利润入账。
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