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经过10轮迭代计算，我们会发现页面X、Y、Z的网页排序号的值趋于稳定，再继续进行迭代计算的话，每轮数值的改变很小。10轮迭代计算之后，X获得40.6%的水量，Y获得19.8%的水量，Z获得39.6%的水量。这3个数字分别趋近于40%、20%、40%。我们可以猜测，这些数值已经向均衡状态收敛，而均衡状态的值正是40%、20%、40%。
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谷歌也是利用这样的算法，把均衡状态下的极限值记为每个网页的网页排序号。
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这个算法的结论是，在这个迷你网络中，虽然有两个外链接指连向网页Z，但是网页X和网页Z其实一样重要。这个结果并不奇怪，因为Z用全部流量支持X，而X却只用一半流量回报Z，把另一半给了Y。这也解释了为什么网页Y的最终得分是X和Z的1/2。
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神奇的是，这个最终得分可以直接算出，而不需要经过这个复杂的迭代计算过程。想一想，均衡的定义是什么？如果系统不再发生变化，那就说明系统已经达到了稳定的“均衡状态”，所以均衡状态的定义就是x‘=x，y‘=y，z‘=z。把这3个方程式代入上面的方程组，我们就得到：
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很容易解出x= 2y=z。最后，别忘了x、y、z这3个数字之和为1。所以，最后的答案是x= 2/5，y= 1/5，z= 2/5。这个得数和我们迭代计算的结果是完全一致的。
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这道题已经解决了，接下来我们应该研究一下这道题和线性代数到底有什么关系。不管是表示均衡状态的方程组，还是上面表示x、y、z更新变化的方程组都是典型的线性方程式。这种方程式之所以叫作线性方程式，是因为它们和直线有关。在这些方程式里，所有变量都是一次方的形式，与中学代数课上的直线方程式（一次方程式）y=mx＋b的形式完全一样。
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与非线性方程式相比（比如含有x2、yz、sinx等项的方程），线性方程式是比较容易求解的。但是如果线性方程组有很多个未知数，问题就变得比较复杂，互联网的情况正是如此。线性代数的核心目标之一，就是不断发明更快、更有效率的算法，去求解巨大的线性方程组。线性方程组解法、算法上的细微提高，就会给我们的日常生活带来极大的便利：航班排期会更合理，图像压缩技术会更有效率，网络搜索会更快速准确。
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线性代数在现实世界中最大的胜利，可能要算网络搜索问题的解决了。“什么样的网页是最佳网页呢？最佳网页是那些链接着其他最佳网页的网页”，这句话用数学语言来表述，就是网页排序号的线性方程组。
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谷歌使用的线性方程组和我们上面求解的方程组并无本质区别，只不过我们的方程组只有3个未知数，而谷歌要解决的方程组却有数十亿个未知数。当然，对谷歌来说，解出这数十亿个未知数，意味着会有数十亿美元的利润入账。
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X的奇幻之旅：在现实生活中发现数学思维之美 [:1701001379]
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X的奇幻之旅：在现实生活中发现数学思维之美
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X的奇幻之旅：在现实生活中发现数学思维之美 第6部分 前沿
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X的奇幻之旅：在现实生活中发现数学思维之美 [:1701001380]
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第25章 孤独的质数与我们的信用卡支付密码
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一首20世纪60年代的美国老歌唱道：“1是最孤独的数字，2也好不到哪里去。”我想，在孤独的问题上，质数应该算是一个需要特殊关注的群体了。
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保罗·焦尔达诺写过一本畅销书《质数的孤独》。《质数的孤独》是一部悲伤的爱情小说：马蒂亚和爱丽丝是两个像质数一样孤独的社会边缘人。因为不幸的童年，两人几乎失去了和别人交流沟通的能力。但是在彼此破碎的灵魂里，他们却找到了共鸣和救赎。在这本书里，作者这样写道：
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质数只能被1和它自己整除。质数和其他数字一样，排在无穷无尽的自然数里，几乎被相邻的两个数字挤扁，虽然被挤压着，却又藏着一种格格不入的孤独。质数永远是可疑的、不合群的孤独者，所以马蒂亚喜欢质数。有时候，马蒂亚觉得质数一定是误入了某种陷阱，才会被囚禁在自然数的序列里，就像珍珠被囚禁在项链里，永远无法逃离。有时候，马蒂亚又觉得也许质数最大的愿望就是变成一个普通的自然数，和别的数字一样正常，不再那么格格不入，但是，这个愿望永远不可能实现……
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大学一年级的时候，马蒂亚学到这样一个知识点：质数中还有一些更为特殊的数字，数学家们称之为“孪生质数”。每一对孪生质数的位置相差不远，几乎可以说是邻居，但它们之间却总会插进一个偶数，硬生生把它们隔开。比如11和13、17和19、41和43都是孪生质数。如果你继续观察下去，就会发现孪生质数变得越来越少。越来越多孤立的质数，存在于这个寂静的谜一样的空间里。越观察，你越会产生一个绝望的预感：之前发现的那些孪生质数也许只是偶然的巧合，而孤独、彻底的孤独，才是一个质数真正的宿命。但是，就在你准备放弃，觉得再也没有必要继续观察下去的时候，你又会碰到一对孪生质数，它们紧紧地依偎在一起，对抗着周围的冰冷和绝望。数学家们相信，不管你观察到哪里，前方一定还有更多的孪生质数，虽然没有人知道，下一对孪生质数会出现在哪里，但我们总会找到它们。
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马蒂亚觉得，他和爱丽丝就是一对孪生质数。他们都很孤独，他们同样迷失在这个冰冷的世界里，他们是彼此唯一的安慰，但他们之间仍隔着不可逾越的障碍，他们永远无法真正地紧挨着彼此。
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