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我提出这个问题以后，这位医生显得很紧张，他很努力地想要算出正确的数值。在仔细研究过我给出的数据以后，这位医生判断，在乳房X射线检查结果呈阳性的前提下，这位妇女实际患有乳腺癌的概率是90%。回答完这个问题以后，这位医生又立刻推翻了自己的答案，他紧张地说：“我肯定搞错了，我根本不会算。你应该去问我的女儿，她正在医学院读书。”显然，这位医生很清楚自己的答案是错误的，但是他却不知道怎么才能算对。虽然他对这个问题冥思苦想了足有10分钟，但他却根本不清楚应该怎样使用概率。
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同样的问题，盖格瑞泽又询问了24位德国医生，这些医生给出的答案五花八门。有8位医生认为，这位妇女实际患有乳腺癌的概率应该为10%或者更低；另有8个医生认为，这位妇女实际患有乳腺癌的概率是90%；剩下的8名医生认为，这位妇女实际患有乳腺癌的概率为50%~80%。想象一下，如果你是一位病人，听到这些结果不一的诊断意见，你的心里会有多么痛苦。
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那么，美国医生的表现又如何呢？85%的受访医生认为，该妇女罹患乳癌的概率应该约为75%。
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其实，这道题的正确答案是9%。
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为什么这位妇女实际患乳癌的概率这么低？盖格瑞泽指出，只要把题目的说法从概率和百分比“翻译”成事件发生的次数，这道题就会变得非常简单。具体翻译如下：
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在年龄为40~50岁、无家族乳腺癌病史、本人无乳腺癌症状的每1 000位妇女中，就会有8人罹患乳腺癌。这8个人中有7个人的乳房X射线检查结果呈阳性。在没有患上乳腺癌的992人中，大约有70人的乳房X射线检查结果会错误地显示为阳性。现在有一个乳房X射线检查结果呈阳性的妇女，请问她实际患有乳腺癌的概率是多少？
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非常简单。1 000人中检查结果呈阳性的一共有7＋70=77个人。这77个人中，只有7个人确实是乳腺癌患者，剩下的70人并没有患上乳腺癌。所以，在检查结果呈阳性的前提下，实际患有乳腺癌的概率是7除以77，也就是1/11或者约9%。
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在上面的计算中，我们做了两处简化。
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第一，我们把所有小数四舍五入为整数。比如，“这8个人中有7个人的乳房X射线检查结果呈阳性”。准确地说，8个患乳腺癌的人乳房X射线检查结果呈阳性的概率为90%，也就是说有8×0.9=7.2个人乳房X射线的检查结果呈阳性。此处，我们把7.2直接四舍五入为7，虽然精确度有所下降，但是整数会比小数更清楚易懂。
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第二，我们假设实际情况和统计数据是完全相符的。比如，低风险人群的乳腺癌发病率是0.8%，那么假设1 000人样本中正好有8个人患病。现实中，情况往往不是这样，你抛1 000次硬币，不一定正好有500次的结果是正面朝上的。但是，我们需要假设样本完全服从统计数据的分布规律，否则我们就没办法计算了。
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不得不承认，这个方法在逻辑上并不是很严密，所以，任何一本概率学教科书都不会采用这种方法。但是，与复杂的贝叶斯定理相比，我们的这种方法既简单又清楚，光这两个优点其实已经足够了。作为上述实验的对照，盖格瑞泽又找了另外24位医生，向他们提出同样的问题，只不过这次的数据不是以概率和百分比的形式给出，而是以事件发生的自然频率的形式给出（即直接给出翻译过后的题目）。结果是，几乎所有受访医生都给出了正确的答案（或者答案与正确答案很接近）。
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把概率从百分比简化成事件发生次数，确实使问题解决起来容易许多，但是条件概率仍然是一个比较复杂的内容。有时候，我们甚至连问题都问错了；还有的时候，我们算出了正确的结果，却又被结果所误导，给出了错误的解释。
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在1994~1995年辛普森杀妻案的庭审过程中，控方和辩方都犯了这类错误。在法庭上，双方律师都用错误的条件概率误导过陪审团。
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在庭审的最初10天内，控方举出了无数证据说明辛普森常对前妻妮可尔·布朗实施家庭暴力。这几乎是控方这10天诉讼的唯一主题。控方声称，辛普森曾多次殴打前妻，把她往墙上推，甚至当众指着妮可尔对围观群众说：“看，这是属于我的东西！”但问题是，辛普森虐待前妻与他有没有谋杀她有什么关系呢？控方的观点是，长期对前妻实施家庭暴力说明辛普森有谋杀前妻的动机。按照控方自己的说法就是：“一个巴掌可能就是谋杀的前兆。”
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而辩方律师阿兰·德尔绍维茨则反驳说，就算这些家暴事件全部属实，也和谋杀没有必然关系，所以不应该被采纳。阿兰·德尔绍维茨后来写道：“殴打配偶的男性中，只有非常少的人最后真的会谋杀配偶，这个概率低于1/2 500。如果庭审需要，我们可以轻松地明确证实这一点。”
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实际上，不管是控方还是辩方，都在诱导陪审团考虑这样一个条件概率：在已知丈夫曾经殴打妻子的前提下，丈夫谋杀妻子的概率是多少。但是，正如统计学家I·J·古德所指出的那样，这个问题其实是错误的，陪审团应该考虑的并不是这个条件概率。
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正确的问题应该是：在已知丈夫曾经殴打妻子，并且妻子确实死于谋杀的双重前提下，丈夫谋杀妻子的概率是多少。经过调查和计算，这个条件概率远远高于1/2 500。
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为什么呢？让我们再次使用自然频率法，把概率和百分比转换成事件发生的次数。想象我们的样本是100 000个被丈夫殴打过的妇女。假设阿兰·德尔绍维茨的数据属实，那么这其中大概有40个妇女最终会被丈夫谋杀（100 000×1/2 500 = 40）。我们再假设，另外还有3个妇女被丈夫以外的人谋杀了（这是根据美国联邦调查局于1992年发布的女性被谋杀的数据算出来的）。也就是说，被谋杀的43位女性中，有40个妇女是被对她们实施家暴行为的丈夫杀掉的。因此，在已知丈夫曾经殴打妻子，并且妻子确实被人谋杀的双重前提下，丈夫谋杀妻子的概率高达93%！
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当然，这个概率并不是辛普森杀妻的概率。辛普森是本案凶手的概率到底有多大，还取决于很多其他的证据（包括对他有利的证据和对他不利的证据）。比如，辩方称警方曾陷害过辛普森，控方则称凶手的鞋印、手套、DNA都与辛普森相吻合等。
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但是，这些证据影响你对最终判决看法的概率又是多少呢？我想这个概率可能是零。
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X的奇幻之旅：在现实生活中发现数学思维之美 第24章 线性代数与强大的谷歌搜索引擎
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在谷歌搜索引擎问世之前，网络搜索是一件很让人崩溃的事情。那时的搜索引擎常常给出一些不相关的搜索结果。而你想找的网站不是排在网站列表的第50页，就是显示根本找不到。
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由于有了“链接分析”的算法，上述问题如今已被解决。“链接分析”算法的原理听起来像是一条似是而非的禅理：网络搜索应该反馈最佳网页。那么，什么样的网页是最佳网页呢？最佳网页是那些链接着其他最佳网页的网页。
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