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这些例子都说明，群论是科学和艺术之间的一座桥梁。群论讨论了科学和艺术的一个共同的主题：对于“对称”的永恒追求与热爱。但是，因为群论包罗万象，它必然是高度抽象的。群论提炼出了“对称”最初和最深的本质。
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一般来说，我们把对称看作形状的一种性质。而群论的重点却在于：对于一个形状，我们可以做些什么？具体来说，就是在保持某些因素不变的前提下，改变一个形状的方式到底有多少种？说得更准确些，群论讨论的是这样一个问题：在一定的限制条件下，有多少种方式可以转化一个形状，但这个形状的本质却保持不变？这些转化的方式，就叫作这个形状的“对称性”。这些转化方式的集合形成一个“群”，“群”的性质定义了这个形状的最本质特征。
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对于一个床垫来说，我们可以通过一些转化方式，改变床垫在空间中的方向（这就是上一段中所说的“转化一个形状的方式”），这些转化必须保持床垫的形状不变（这就是上一段中所说的“一定的限制条件”）。这些转化结束后，床垫必须仍能严丝合缝地嵌在床架里（这就是上一段中所说的“在保持某些因素不变的前提下”）。定好这些规则以后，我们来看看，哪几种“转化”床垫的方式属于这个“群”呢？事实上，只有4种方式是符合上述条件的。
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第一种方式是什么也不做，大部分懒惰的床垫用户都选择这种方式。显然，这种“转化”符合上述所有条件，虽然它对延长床垫的寿命毫无帮助，但我们仍然必须把它视作这个“群”的一个元素。这种什么都不做的转化方式就像加法中的0或乘法中的1一样重要，数学家们称它为“单位元素”，符号为I。
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接下来，我们来讨论另外3种富有创造性的翻转床垫的方式。为了清楚地展示翻转的方法，我们把床垫的4个角编上号，分别为1、2、3、4，如下图所示。
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第一种翻转床垫的方法在本章一开始的时候就给出了。在本章的第一幅插图里，那位穿条纹睡衣的英俊绅士正在翻转床垫——沿床垫的长轴翻转180度。这种转化方式我们记作H，即“水平翻转”。
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第二种更为狂野的翻转床垫的方法是“竖直翻转”，我们将这种方式记作V。竖直翻转要把床垫先立起来，让它几乎碰到天花板，然后让床垫头尾、正反皆翻转。“竖直翻转”的净效果（除了一声巨大的轰鸣以外）是床垫沿着短轴翻转了180度，如下图所示。
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第三种翻转床垫的方法是保持床垫正面朝上，把它旋转半圈，让床头变成床尾，床尾变成床头。这种方式我们记为R，意思是“旋转”。水平翻转和竖直翻转都让床垫变为反面在上，而旋转后床垫仍保持正面朝上。
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为了更形象地展示这几种翻转床垫方法的区别，我们想象床垫是透明的，即使反面朝上后仍能看见写在床垫正面的数字。水平翻转后，4个数字变成了原来的镜像，数字的排列发生了变化，1和2换了位置，3和4换了位置。
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而竖直翻转后，数字的排列则发生了另一种形式的变化：数字不仅变成了原来的镜像（1和2换了位置，3和4换了位置），而且1和2从上面换到了下面，3和4则从下面换到了上面。
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最后来看一下旋转法。旋转后数字不会变成原来的镜像，它们只是头尾颠倒了而已。旋转后，1和4交换了位置，2和3交换了位置。
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这些变化的细节并不重要，重要的是这几种转化方式之间的联系是怎样的。这4种转化方式之间的关系，反映出床垫这个物体的对称性质。
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为了说清楚这个问题，我画了这样一张图。（这种图在内森·卡特的《视觉群论》里比比皆是。《视觉群论》这本书写得非常好，绝对是群论入门书籍中最棒的一本，甚至是我读过的所有高等数学入门类书籍中写得最好的一本。）
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