打字猴:1.701003629e+09
1701003629
1701003630 这些例子都说明,群论是科学和艺术之间的一座桥梁。群论讨论了科学和艺术的一个共同的主题:对于“对称”的永恒追求与热爱。但是,因为群论包罗万象,它必然是高度抽象的。群论提炼出了“对称”最初和最深的本质。
1701003631
1701003632 一般来说,我们把对称看作形状的一种性质。而群论的重点却在于:对于一个形状,我们可以做些什么?具体来说,就是在保持某些因素不变的前提下,改变一个形状的方式到底有多少种?说得更准确些,群论讨论的是这样一个问题:在一定的限制条件下,有多少种方式可以转化一个形状,但这个形状的本质却保持不变?这些转化的方式,就叫作这个形状的“对称性”。这些转化方式的集合形成一个“群”,“群”的性质定义了这个形状的最本质特征。
1701003633
1701003634 对于一个床垫来说,我们可以通过一些转化方式,改变床垫在空间中的方向(这就是上一段中所说的“转化一个形状的方式”),这些转化必须保持床垫的形状不变(这就是上一段中所说的“一定的限制条件”)。这些转化结束后,床垫必须仍能严丝合缝地嵌在床架里(这就是上一段中所说的“在保持某些因素不变的前提下”)。定好这些规则以后,我们来看看,哪几种“转化”床垫的方式属于这个“群”呢?事实上,只有4种方式是符合上述条件的。
1701003635
1701003636 第一种方式是什么也不做,大部分懒惰的床垫用户都选择这种方式。显然,这种“转化”符合上述所有条件,虽然它对延长床垫的寿命毫无帮助,但我们仍然必须把它视作这个“群”的一个元素。这种什么都不做的转化方式就像加法中的0或乘法中的1一样重要,数学家们称它为“单位元素”,符号为I。
1701003637
1701003638 接下来,我们来讨论另外3种富有创造性的翻转床垫的方式。为了清楚地展示翻转的方法,我们把床垫的4个角编上号,分别为1、2、3、4,如下图所示。
1701003639
1701003640
1701003641
1701003642
1701003643 第一种翻转床垫的方法在本章一开始的时候就给出了。在本章的第一幅插图里,那位穿条纹睡衣的英俊绅士正在翻转床垫——沿床垫的长轴翻转180度。这种转化方式我们记作H,即“水平翻转”。
1701003644
1701003645
1701003646
1701003647
1701003648 第二种更为狂野的翻转床垫的方法是“竖直翻转”,我们将这种方式记作V。竖直翻转要把床垫先立起来,让它几乎碰到天花板,然后让床垫头尾、正反皆翻转。“竖直翻转”的净效果(除了一声巨大的轰鸣以外)是床垫沿着短轴翻转了180度,如下图所示。
1701003649
1701003650
1701003651
1701003652
1701003653 第三种翻转床垫的方法是保持床垫正面朝上,把它旋转半圈,让床头变成床尾,床尾变成床头。这种方式我们记为R,意思是“旋转”。水平翻转和竖直翻转都让床垫变为反面在上,而旋转后床垫仍保持正面朝上。
1701003654
1701003655
1701003656
1701003657
1701003658 为了更形象地展示这几种翻转床垫方法的区别,我们想象床垫是透明的,即使反面朝上后仍能看见写在床垫正面的数字。水平翻转后,4个数字变成了原来的镜像,数字的排列发生了变化,1和2换了位置,3和4换了位置。
1701003659
1701003660
1701003661
1701003662
1701003663 而竖直翻转后,数字的排列则发生了另一种形式的变化:数字不仅变成了原来的镜像(1和2换了位置,3和4换了位置),而且1和2从上面换到了下面,3和4则从下面换到了上面。
1701003664
1701003665
1701003666
1701003667
1701003668 最后来看一下旋转法。旋转后数字不会变成原来的镜像,它们只是头尾颠倒了而已。旋转后,1和4交换了位置,2和3交换了位置。
1701003669
1701003670
1701003671
1701003672
1701003673 这些变化的细节并不重要,重要的是这几种转化方式之间的联系是怎样的。这4种转化方式之间的关系,反映出床垫这个物体的对称性质。
1701003674
1701003675 为了说清楚这个问题,我画了这样一张图。(这种图在内森·卡特的《视觉群论》里比比皆是。《视觉群论》这本书写得非常好,绝对是群论入门书籍中最棒的一本,甚至是我读过的所有高等数学入门类书籍中写得最好的一本。)
1701003676
1701003677
1701003678
[ 上一页 ]  [ :1.701003629e+09 ]  [ 下一页 ]