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而竖直翻转后，数字的排列则发生了另一种形式的变化：数字不仅变成了原来的镜像（1和2换了位置，3和4换了位置），而且1和2从上面换到了下面，3和4则从下面换到了上面。
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最后来看一下旋转法。旋转后数字不会变成原来的镜像，它们只是头尾颠倒了而已。旋转后，1和4交换了位置，2和3交换了位置。
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这些变化的细节并不重要，重要的是这几种转化方式之间的联系是怎样的。这4种转化方式之间的关系，反映出床垫这个物体的对称性质。
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为了说清楚这个问题，我画了这样一张图。（这种图在内森·卡特的《视觉群论》里比比皆是。《视觉群论》这本书写得非常好，绝对是群论入门书籍中最棒的一本，甚至是我读过的所有高等数学入门类书籍中写得最好的一本。）
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上图4个角上的方块表示床垫可能出现的4种状态。左上角是床垫翻转（或旋转）前的初始状态。箭头表示翻转（或旋转）的方式，这些箭头把床垫的4种状态连接起来。
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比如说，从左下状态指向右上状态的箭头表示“旋转”R。这个箭头是双向的，因为如果把床垫旋转2次，床垫就会回到初始状态。
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这并不奇怪吧，如果把床头转到床尾，然后又把新的床头转到新的床尾，就相当于什么也没做（床垫又回到初始状态）。这个性质可以用方程式表示为：
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RR = I
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上式中的RR表示把R这种转化做了两次；I表示初始状态（单位元素）。同样，如果连续水平翻转两次，或者连续竖直翻转两次，床垫都会回到初始状态，也就是：
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HH = I
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VV = I
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除此之外，上面这张转化图还给我们提供了一些其他信息。比如，从图中可以看出，与其进行一次惊险的竖直翻转，不如先做一次水平翻转再加上一次旋转。两种方法的效果是完全一样的，也就是V=HR。为了验证这一结论，我们先从上图左上角的初始状态出发。向东走，沿着H的箭头，我们就到达右上状态，然后再沿着对角线往西南方向走，沿着R的箭头，最终到达左下状态。而直接从左上状态沿着V的箭头向下走也会走到完全相同的地方。所以，HR=V。
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注意，在这张图中，各个步骤间的先后顺序并不重要。不管你是先水平翻转再竖直翻转，还是先竖直翻转再水平翻转，结果都是一样的，即HR=RH。在我们这个群中，任何两种转化方式的先后顺序都可以互相交换，转化的结果却保持不变，这是加法交换率的一种更广义的形式。算术中两数相加时，x＋y=y＋x，在这里是HR=RH。请注意，并不是所有的群都服从交换律，我们的床垫“群”只是一个特例。通常，服从交换律的群是性质比较简单和清楚的群。
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现在，回到我们最初的问题：怎样翻转床垫才能使磨损最为均匀？这个问题的答案是，只要周期性地调整床垫的状态，让床垫处于上图中的4种状态的时间相等就可以了。比如，鉴于竖直翻转床垫的方式有一定的危险性，我们可以选择周期性地重复R和H这两种翻转方式：第一个周期后旋转床垫一次，第二个周期后水平翻转床垫一次，第三个周期后又旋转床垫一次，第四个周期后又水平翻转床垫一次……如此反复。有的床垫制造商发明了这样一个保养床垫的口诀：“春天转，秋天翻”，这其实说的就是上面的这种策略。
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群论的魅力就在于，它把很多外表看来毫无联系的事物的本质挖掘出来，让我们知道这些风马牛不相及的事情其实具有相同的抽象本质。比如，床垫的翻转、一组电器开关状态的变化逻辑，以及水分子的对称性，其实都可以用上面的这个群来表示。这让我想到著名物理学家理查德·费曼的一则逸事：
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在入伍体检时，需要通过精神科医生的检查。当时，医生让费曼把手伸出来给他看，结果费曼立刻伸出双手，一只手手掌朝上，另一只手手背朝上。医生说：“不是这样，把手翻过来。”费曼闻声把双手都翻了过来，还是一只手手掌朝上，另一只手手背朝上。
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费曼的这个恶作剧只有懂得群论的人才能体会其中的幽默。如果我们考虑一下伸出两只手一共可能存在的4种状态，以及其中的转化过程，我们就会发现，伸手问题和翻转床垫问题的本质是完全一致的！
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如果你觉得用群论的方法来解决床垫问题未免太令人头晕了，那么，我们还是回归一个简单的真理：如果有什么事情让你感到烦恼，那么最好的解决方法就是倒头大睡。
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