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除此之外，上面这张转化图还给我们提供了一些其他信息。比如，从图中可以看出，与其进行一次惊险的竖直翻转，不如先做一次水平翻转再加上一次旋转。两种方法的效果是完全一样的，也就是V=HR。为了验证这一结论，我们先从上图左上角的初始状态出发。向东走，沿着H的箭头，我们就到达右上状态，然后再沿着对角线往西南方向走，沿着R的箭头，最终到达左下状态。而直接从左上状态沿着V的箭头向下走也会走到完全相同的地方。所以，HR=V。
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注意，在这张图中，各个步骤间的先后顺序并不重要。不管你是先水平翻转再竖直翻转，还是先竖直翻转再水平翻转，结果都是一样的，即HR=RH。在我们这个群中，任何两种转化方式的先后顺序都可以互相交换，转化的结果却保持不变，这是加法交换率的一种更广义的形式。算术中两数相加时，x＋y=y＋x，在这里是HR=RH。请注意，并不是所有的群都服从交换律，我们的床垫“群”只是一个特例。通常，服从交换律的群是性质比较简单和清楚的群。
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现在，回到我们最初的问题：怎样翻转床垫才能使磨损最为均匀？这个问题的答案是，只要周期性地调整床垫的状态，让床垫处于上图中的4种状态的时间相等就可以了。比如，鉴于竖直翻转床垫的方式有一定的危险性，我们可以选择周期性地重复R和H这两种翻转方式：第一个周期后旋转床垫一次，第二个周期后水平翻转床垫一次，第三个周期后又旋转床垫一次，第四个周期后又水平翻转床垫一次……如此反复。有的床垫制造商发明了这样一个保养床垫的口诀：“春天转，秋天翻”，这其实说的就是上面的这种策略。
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群论的魅力就在于，它把很多外表看来毫无联系的事物的本质挖掘出来，让我们知道这些风马牛不相及的事情其实具有相同的抽象本质。比如，床垫的翻转、一组电器开关状态的变化逻辑，以及水分子的对称性，其实都可以用上面的这个群来表示。这让我想到著名物理学家理查德·费曼的一则逸事：
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在入伍体检时，需要通过精神科医生的检查。当时，医生让费曼把手伸出来给他看，结果费曼立刻伸出双手，一只手手掌朝上，另一只手手背朝上。医生说：“不是这样，把手翻过来。”费曼闻声把双手都翻了过来，还是一只手手掌朝上，另一只手手背朝上。
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费曼的这个恶作剧只有懂得群论的人才能体会其中的幽默。如果我们考虑一下伸出两只手一共可能存在的4种状态，以及其中的转化过程，我们就会发现，伸手问题和翻转床垫问题的本质是完全一致的！
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如果你觉得用群论的方法来解决床垫问题未免太令人头晕了，那么，我们还是回归一个简单的真理：如果有什么事情让你感到烦恼，那么最好的解决方法就是倒头大睡。
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X的奇幻之旅：在现实生活中发现数学思维之美 [:1701001382]
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X的奇幻之旅：在现实生活中发现数学思维之美 第27章 拓扑：用莫比乌斯带写成的忧伤爱情故事
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我们的社区小学会定期举办家长日活动。家长日那天，学校会邀请学生们的家长给孩子们做演讲，这些演讲让孩子们有机会了解不同工作和不同领域中的各种知识。
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轮到我演讲的那天，我给上一年级的女儿的同班同学带去了一大包莫比乌斯带。莫比乌斯带是怎么制作的呢？前一天晚上，我和妻子一起把一条长纸带剪成一小段一小段的，然后像下图中这样把每一小段纸带扭一下。
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扭过之后，再用胶带将小纸带黏起来，一个莫比乌斯带就做成了。
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这个简单的小手工作品，在6岁孩子的手上可以玩出很多花样来。我需要的只是一把剪刀、几支蜡笔、一卷胶带和一点儿好奇心。
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在我和妻子给女儿班上的孩子们分发莫比乌斯带和上述工具的时候，老师问班上的孩子们：“你们觉得这个物品与哪一个学科有关呢？”有个小男孩举手回答说：“我不知道，但应该不是语言学。”
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我想，老师当时大概觉得小朋友们会回答“美术”或者“艺术”之类的学科。一个更早慧的孩子也许能答出“数学”这个答案。事实上，这个问题的最佳答案是：“拓扑”。（我所说的并不夸张，在伊萨卡市的小学里，绝对有一年级的小学生能答出“拓扑”这两个字来，只不过那位拓扑学家的孩子恰好在隔壁班上。）
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什么是拓扑？拓扑是几何学的一个分支，它是现代数学中一个非常有活力的学科。拓扑不像前面说到的几何学那么严肃和严谨，在拓扑学中，只要你能通过弯曲、扭转、拉伸等方法把一个形状连续（连续指的是不能撕裂，也不能刺穿）地变成另一个形状，我们就认为这两个形状是等价的。在传统的几何学中，每个物体都是坚硬的、不可变形的；而在拓扑学中，物体似乎具有无限的弹性，我们可以想象这些物体是由一种理想化的橡胶或者橡皮泥制成的。
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拓扑学揭示出形状的深层次的本质性质——这些性质不会因为任何连续的形变而改变。比如，一个正方形橡胶圈和一个圆形橡胶圈在拓扑学上是等价的。虽然正方形橡胶圈有4个角和4条直线边，但这些特征在拓扑学上都属于无关信息。经过一个连续的形变过程，正方形橡胶圈就可以变成圆形橡胶圈，它的4条直线边会转化成圆弧的形状。
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连续的形变可以把方的变成圆的，但有一个性质无法改变，那就是这两个橡胶圈的本质结构都是“圈”。不管是圆形橡胶圈还是正方形橡胶圈，它们都是圈状的闭合曲线，这就是它们共同的拓扑结构。
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