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1701003803 X的奇幻之旅:在现实生活中发现数学思维之美 第28章 微分几何:两点之间最短路径不止一条
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1701003805 从勾股定理到平行线永不相交,这些永恒的真理都是基于一个想象中的二维平面。你有没有想过,为什么人类最早发明的几何学分支是平面几何呢?那是因为在古代,人类认为我们生活的大地就是一个平面。
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1701003807 平面几何起源于2 500多年前的古印度、古中国、古埃及和古巴比伦。最终,以欧几里得为代表的希腊数学家完善了它,并将其编纂成书。直到今天,平面几何仍是高中几何教学的主要内容(甚至是唯一内容)。但是,几千年以来,随着人类的进化,很多事情已经悄然发生了改变。
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1701003809 在全球化的今天,我们有了谷歌地球,还可以轻松地乘飞机跨越各大洋和大洲。在这样的环境中,也许我们每个人都应该懂一点儿球面几何,以及球面几何的现代化推广——微分几何。球面几何和微分几何的基本理念,直到大约200年前才被发明出来。卡尔·弗里德里希·高斯和波恩哈德·黎曼是微分几何这一创新事物的先驱者。正是在微分几何的基础上,人类才得以建起一座新的智慧丰碑——爱因斯坦的广义相对论。微分几何的技术细节虽然十分高深,但是它的核心理念却是非常简单而美丽的,任何人只要骑过自行车、见过地球仪,或者玩过橡胶环,就应该可以理解微分几何的核心理念。在理解了微分几何以后,你会发现,旅行中一些看起来很奇怪的事情,其实都是很有道理的。
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1701003811 比如在我小的时候,我爸爸很喜欢考我一些地理问题。爸爸会问我:“意大利的罗马和美国的纽约哪一个城市位于更北一些的地方?”对于这个问题,我想大部分人都会猜测纽约似乎更靠北一些,但是,其实罗马和纽约几乎在同一个纬度上,严格来说,罗马还要稍微偏北一点儿。在平面的世界地图(平面的世界地图使用的是墨卡托投影,这种画法其实是具有一定的误导性的,实际上,格陵兰岛的面积根本不像地图上看上去那么大)上,纽约和罗马几乎在同一条纬度线上,仿佛从纽约一直向东走,你就会走到罗马。
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1701003813 可是,当你真的乘飞机从纽约飞往罗马,你就会发现航空公司的航线根本不是一直向东。从纽约起飞以后,飞机会往东北方向飞,环绕加拿大的海岸线。为什么会这样呢?我曾经以为航空公司是为了安全起见而选择尽量在陆地上空飞行,但事实并不是这样的。当你考虑到地球不是一个平面而是一个球体时,你就会明白,这种不符合我们直觉的航线才是纽约到罗马的最短路线。纽约到罗马的最短路线不是一路向西,而是先穿过新斯科舍省和纽芬兰,再飞过大西洋,然后经过爱尔兰和法国,最终到达阳光明媚的意大利。
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1701003818 在球面上,这样的航线被称为“大圆”的一条弧。就像平面上两点之间直线最短一样,球面上两点间的最短路径是大圆。之所以叫作“大圆”,是因为这些曲线是你能在一个球面上找到的最大的圆。比如,地球的赤道就是一个大圆,同时穿过北极点和南极点的圆也是一个大圆。
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1701003820 平面上的直线和球面上的大圆,还有另一个共同点:它们都是两点间最直的线。这句话听上去十分奇怪:球面上所有的线都是曲线,为什么大圆会是两点间“最直的线”呢?因为球面上不同曲线的弯曲程度是有所差异的。除了完成一个必要的任务——贴合球的表面——以外,大圆就不再有任何额外的弯曲度了。
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1701003822 为了让这个性质更加直观,我们尝试这样想:假设你在地球的表面上骑着一辆小自行车,试图沿着某条既定的路线前进。如果这个既定路线是大圆,那么你就可以时刻保持前轮笔直朝前。从这个意义上来说,大圆就是地球表面最直的线。如果你在南极或北极附近沿着一条纬度线骑自行车前行,你则需要不断地转动自行车的车把手,才能不偏离既定路线。
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1701003824 当然,在各式各样的表面中,平面和球面都算是性质相当简单明了的。人体的表面、易拉罐的表面,或者一个坚果面包的表面——这些不规则的、复杂的表面才是表面的常态。这些表面不仅不对称,还有很多其他的弯曲度,在这样的表面上行走的话一定很容易迷路。在这些非特殊的表面上,要找到两点之间距离最短的路径可不是一件容易的事情,这其中的技术细节是非常复杂和琐碎的。因此,让我们绕开这些复杂的技术问题,用一种直觉化的方法来审视和理解这个问题。这时候,我们就要用到橡皮绳了。
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1701003826 想象一种光滑而有弹性的橡皮绳,这种橡皮绳会在附着在物体表面的前提下,尽最大努力收缩。有了这种神奇的橡皮绳,找到纽约和罗马间的最短路径就很容易了。同时,我们也可以用这种橡皮绳找出任意表面上的任意两点间的最短路径。只要把橡皮绳的两端分别系在起点和终点上,橡皮绳就会在附着在物体表面的前提下,尽最大努力收缩。最后,橡皮绳绷到最紧,橡皮绳所经过的路径就是这两点间的最短路径。
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1701003828 当我们用这种方法研究一些比平面和球面稍微复杂一些的表面时,我们就会注意到一个很奇怪的现象:两点之间存在很多条最短的路径,两点之间的最短路径并不是唯一的。比如,在一个易拉罐的外表面上,我们考虑这样的两个点:其中一个点在另一个点的正下方。
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1701003833 显然,这两点间的最短路径是一条直线,如上图所示。如果我们用橡皮绳来试一试,橡皮绳就会呈现上图中的状态。但事情并没有这么简单,圆柱形的易拉罐给我们带来了很多变化的可能性。比如,我们可以要求橡皮绳在连接这两点之前必须包围住这个圆柱体(在染色体中,当DNA缠绕住某些蛋白质时,人体就会给DNA下达这样的限制性指令)。在这个新的限制条件下,橡皮绳最后会绷紧成为一个螺旋形,就像老式理发店前的那个转轮上的曲线。
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1701003838 这个螺旋状的曲线也是这两点之间的局部最短路径,因为在此路径附近的所有路径中,这条曲线是最短的。如果你稍微拉一下橡皮绳,橡皮绳就会变长一点儿,跑到此路径附近的另一条路径上去。而你一放手,橡皮绳又会收缩,回到上图的路径上去。所以,我们可以说,这条路径是局部最短的路径,在两点间所有包围住这个圆柱体的路径中,上图的这条路径是当之无愧的冠军。(正是出于这个原因,这个学科的名字叫作“微分几何”。微分几何研究的是各种形状上局部的小变化所产生的效应,比如上图的螺旋形路径和其周围的其他路径的长短关系。)
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1701003840 但是,问题到此还没有结束,既然有绕圆柱一圈的最短路径,就同样有绕圆柱两圈、三圈、四圈……的最短路径。在一个圆柱体的表面,两点之间有无数条局部最短的路径。当然,这些螺旋形的路径都不是全局的最短路径,因为第一幅图里的直线才是全局的最短路径。
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1701003842 同样,在一个有很多洞和把手的表面上,两点间也会有很多局部最短的路径。这些路径可能会以各种弯弯曲曲的方式经过这个高低起伏的表面。柏林自由大学的数学家康拉德·伯锡尔制作了一段视频,来演示这种表面上的局部最短路径的不唯一性。下图就是视频里的一幅截图。图中这个8字形的假想面学名叫作“两孔环面”,这些局部的最短路径的学名叫作“测地线”。
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1701003847 上图中的3条测地线分别经过了两孔环面上极不相同的部分,所以这3条测地线的形状也各不相同。但这3条曲线有一个共同点:相比附近的其他路径,它们都是局部最短、最直的曲线。就像平面上的直线和球面上的大圆一样,这些测地线是两孔环面上最直的曲线。这3条测地线随两孔环面的表面而弯曲,但它们自身却不弯曲。为了解释清楚这一点,伯锡尔制作了另一段视频。
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1701003852 在上图中,两孔环面的测地线被修上了高速公路。一辆无人驾驶的摩托车在这条公路上沿着测地线自动行驶。神奇的是,在行驶的过程中,摩托车的车把手完全没有转动,车头始终保持朝前的方向。也就是说,摩托车不需要进行任何转弯的动作,就可以沿着这条测地线的路径前进。通过这种直观的演示,我们可以发现,测地线和球面上的大圆一样,是平面上的直线自然衍生出来的。
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