1701003814
1701003815
1701003816
1701003817
1701003818
在球面上，这样的航线被称为“大圆”的一条弧。就像平面上两点之间直线最短一样，球面上两点间的最短路径是大圆。之所以叫作“大圆”，是因为这些曲线是你能在一个球面上找到的最大的圆。比如，地球的赤道就是一个大圆，同时穿过北极点和南极点的圆也是一个大圆。
1701003819
1701003820
平面上的直线和球面上的大圆，还有另一个共同点：它们都是两点间最直的线。这句话听上去十分奇怪：球面上所有的线都是曲线，为什么大圆会是两点间“最直的线”呢？因为球面上不同曲线的弯曲程度是有所差异的。除了完成一个必要的任务——贴合球的表面——以外，大圆就不再有任何额外的弯曲度了。
1701003821
1701003822
为了让这个性质更加直观，我们尝试这样想：假设你在地球的表面上骑着一辆小自行车，试图沿着某条既定的路线前进。如果这个既定路线是大圆，那么你就可以时刻保持前轮笔直朝前。从这个意义上来说，大圆就是地球表面最直的线。如果你在南极或北极附近沿着一条纬度线骑自行车前行，你则需要不断地转动自行车的车把手，才能不偏离既定路线。
1701003823
1701003824
当然，在各式各样的表面中，平面和球面都算是性质相当简单明了的。人体的表面、易拉罐的表面，或者一个坚果面包的表面——这些不规则的、复杂的表面才是表面的常态。这些表面不仅不对称，还有很多其他的弯曲度，在这样的表面上行走的话一定很容易迷路。在这些非特殊的表面上，要找到两点之间距离最短的路径可不是一件容易的事情，这其中的技术细节是非常复杂和琐碎的。因此，让我们绕开这些复杂的技术问题，用一种直觉化的方法来审视和理解这个问题。这时候，我们就要用到橡皮绳了。
1701003825
1701003826
想象一种光滑而有弹性的橡皮绳，这种橡皮绳会在附着在物体表面的前提下，尽最大努力收缩。有了这种神奇的橡皮绳，找到纽约和罗马间的最短路径就很容易了。同时，我们也可以用这种橡皮绳找出任意表面上的任意两点间的最短路径。只要把橡皮绳的两端分别系在起点和终点上，橡皮绳就会在附着在物体表面的前提下，尽最大努力收缩。最后，橡皮绳绷到最紧，橡皮绳所经过的路径就是这两点间的最短路径。
1701003827
1701003828
当我们用这种方法研究一些比平面和球面稍微复杂一些的表面时，我们就会注意到一个很奇怪的现象：两点之间存在很多条最短的路径，两点之间的最短路径并不是唯一的。比如，在一个易拉罐的外表面上，我们考虑这样的两个点：其中一个点在另一个点的正下方。
1701003829
1701003830
1701003831
1701003832
1701003833
显然，这两点间的最短路径是一条直线，如上图所示。如果我们用橡皮绳来试一试，橡皮绳就会呈现上图中的状态。但事情并没有这么简单，圆柱形的易拉罐给我们带来了很多变化的可能性。比如，我们可以要求橡皮绳在连接这两点之前必须包围住这个圆柱体（在染色体中，当DNA缠绕住某些蛋白质时，人体就会给DNA下达这样的限制性指令）。在这个新的限制条件下，橡皮绳最后会绷紧成为一个螺旋形，就像老式理发店前的那个转轮上的曲线。
1701003834
1701003835
1701003836
1701003837
1701003838
这个螺旋状的曲线也是这两点之间的局部最短路径，因为在此路径附近的所有路径中，这条曲线是最短的。如果你稍微拉一下橡皮绳，橡皮绳就会变长一点儿，跑到此路径附近的另一条路径上去。而你一放手，橡皮绳又会收缩，回到上图的路径上去。所以，我们可以说，这条路径是局部最短的路径，在两点间所有包围住这个圆柱体的路径中，上图的这条路径是当之无愧的冠军。（正是出于这个原因，这个学科的名字叫作“微分几何”。微分几何研究的是各种形状上局部的小变化所产生的效应，比如上图的螺旋形路径和其周围的其他路径的长短关系。）
1701003839
1701003840
但是，问题到此还没有结束，既然有绕圆柱一圈的最短路径，就同样有绕圆柱两圈、三圈、四圈……的最短路径。在一个圆柱体的表面，两点之间有无数条局部最短的路径。当然，这些螺旋形的路径都不是全局的最短路径，因为第一幅图里的直线才是全局的最短路径。
1701003841
1701003842
同样，在一个有很多洞和把手的表面上，两点间也会有很多局部最短的路径。这些路径可能会以各种弯弯曲曲的方式经过这个高低起伏的表面。柏林自由大学的数学家康拉德·伯锡尔制作了一段视频，来演示这种表面上的局部最短路径的不唯一性。下图就是视频里的一幅截图。图中这个8字形的假想面学名叫作“两孔环面”，这些局部的最短路径的学名叫作“测地线”。
1701003843
1701003844
1701003845
1701003846
1701003847
上图中的3条测地线分别经过了两孔环面上极不相同的部分，所以这3条测地线的形状也各不相同。但这3条曲线有一个共同点：相比附近的其他路径，它们都是局部最短、最直的曲线。就像平面上的直线和球面上的大圆一样，这些测地线是两孔环面上最直的曲线。这3条测地线随两孔环面的表面而弯曲，但它们自身却不弯曲。为了解释清楚这一点，伯锡尔制作了另一段视频。
1701003848
1701003849
1701003850
1701003851
1701003852
在上图中，两孔环面的测地线被修上了高速公路。一辆无人驾驶的摩托车在这条公路上沿着测地线自动行驶。神奇的是，在行驶的过程中，摩托车的车把手完全没有转动，车头始终保持朝前的方向。也就是说，摩托车不需要进行任何转弯的动作，就可以沿着这条测地线的路径前进。通过这种直观的演示，我们可以发现，测地线和球面上的大圆一样，是平面上的直线自然衍生出来的。
1701003853
1701003854
看了上面这些“奇幻”的情节，你可能会问，测地线在现实世界中有什么用处吗？当然有。爱因斯坦向我们证明，当光线在宇宙中遨游时，它们总是沿着测地线传播。1919年日食观测时，人类发现星光经过太阳附近时会发生弯曲。这一发现验证了爱因斯坦的理论：在弯曲的时空中，光线确实是沿着测地线传播的。而这种时空的弯曲是由太阳的引力造成的。
1701003855
1701003856
用微分几何寻找两点间最短距离的另一个更加实用的例子，是互联网流量的疏导问题。在这里，我们要处理的“面”不是上面提到的那些平滑的表面，而是数不清的网址和链接形成的庞大迷宫。在互联网流量疏导的问题中，我们要研究的是算法的速度——找出一个网络中最短路径的最快算法是什么？因为通过一个网络的可能路径多到无法想象，所以这个问题是非常难以解决的。我们必须感谢数学家和计算机专家的惊人智慧，要不是他们成功地解决了这个问题，我们上网时网速会慢得让人难以忍受。
1701003857
1701003858
在生活中，人们常常会说“两点之间直线距离最短”，这句话的言外之意就是，“别把事情搞得太复杂了，简单的才是最好的”。但是，有时候，正是因为有复杂的障碍和限制条件的存在，我们才能创造出更美、更伟大的事物。在艺术方面，在数学方面，想收获最甜美的果实，往往先要给自己制造一些限制条件。想想俳句，想想十四行诗，想想用6个字描述的人生故事，这些事物的美，就在于我们可以戴着镣铐跳出最精彩的舞蹈。当你找不到一条简单的直线时，你需要懂一点儿微分几何学知识，才能找到两点间的最短路径。在人生路上，如果看不到通向目标的坦途，你也不必灰心，学一点儿人生的微分几何学吧。
1701003859
1701003860
如果你正为前途而烦恼，别忘了，两点之间的最短路径不止一条。这是数学给我们的鼓励和祝福。
1701003861
1701003862
1701003863