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但是，问题到此还没有结束，既然有绕圆柱一圈的最短路径，就同样有绕圆柱两圈、三圈、四圈……的最短路径。在一个圆柱体的表面，两点之间有无数条局部最短的路径。当然，这些螺旋形的路径都不是全局的最短路径，因为第一幅图里的直线才是全局的最短路径。
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同样，在一个有很多洞和把手的表面上，两点间也会有很多局部最短的路径。这些路径可能会以各种弯弯曲曲的方式经过这个高低起伏的表面。柏林自由大学的数学家康拉德·伯锡尔制作了一段视频，来演示这种表面上的局部最短路径的不唯一性。下图就是视频里的一幅截图。图中这个8字形的假想面学名叫作“两孔环面”，这些局部的最短路径的学名叫作“测地线”。
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上图中的3条测地线分别经过了两孔环面上极不相同的部分，所以这3条测地线的形状也各不相同。但这3条曲线有一个共同点：相比附近的其他路径，它们都是局部最短、最直的曲线。就像平面上的直线和球面上的大圆一样，这些测地线是两孔环面上最直的曲线。这3条测地线随两孔环面的表面而弯曲，但它们自身却不弯曲。为了解释清楚这一点，伯锡尔制作了另一段视频。
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在上图中，两孔环面的测地线被修上了高速公路。一辆无人驾驶的摩托车在这条公路上沿着测地线自动行驶。神奇的是，在行驶的过程中，摩托车的车把手完全没有转动，车头始终保持朝前的方向。也就是说，摩托车不需要进行任何转弯的动作，就可以沿着这条测地线的路径前进。通过这种直观的演示，我们可以发现，测地线和球面上的大圆一样，是平面上的直线自然衍生出来的。
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看了上面这些“奇幻”的情节，你可能会问，测地线在现实世界中有什么用处吗？当然有。爱因斯坦向我们证明，当光线在宇宙中遨游时，它们总是沿着测地线传播。1919年日食观测时，人类发现星光经过太阳附近时会发生弯曲。这一发现验证了爱因斯坦的理论：在弯曲的时空中，光线确实是沿着测地线传播的。而这种时空的弯曲是由太阳的引力造成的。
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用微分几何寻找两点间最短距离的另一个更加实用的例子，是互联网流量的疏导问题。在这里，我们要处理的“面”不是上面提到的那些平滑的表面，而是数不清的网址和链接形成的庞大迷宫。在互联网流量疏导的问题中，我们要研究的是算法的速度——找出一个网络中最短路径的最快算法是什么？因为通过一个网络的可能路径多到无法想象，所以这个问题是非常难以解决的。我们必须感谢数学家和计算机专家的惊人智慧，要不是他们成功地解决了这个问题，我们上网时网速会慢得让人难以忍受。
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在生活中，人们常常会说“两点之间直线距离最短”，这句话的言外之意就是，“别把事情搞得太复杂了，简单的才是最好的”。但是，有时候，正是因为有复杂的障碍和限制条件的存在，我们才能创造出更美、更伟大的事物。在艺术方面，在数学方面，想收获最甜美的果实，往往先要给自己制造一些限制条件。想想俳句，想想十四行诗，想想用6个字描述的人生故事，这些事物的美，就在于我们可以戴着镣铐跳出最精彩的舞蹈。当你找不到一条简单的直线时，你需要懂一点儿微分几何学知识，才能找到两点间的最短路径。在人生路上，如果看不到通向目标的坦途，你也不必灰心，学一点儿人生的微分几何学吧。
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如果你正为前途而烦恼，别忘了，两点之间的最短路径不止一条。这是数学给我们的鼓励和祝福。
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X的奇幻之旅：在现实生活中发现数学思维之美 [:1701001384]
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X的奇幻之旅：在现实生活中发现数学思维之美 第29章 无穷数列的和与一个温文尔雅的骗子
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从外表看来，“数学”这个家伙有种说一不二的强硬性格，如同一位令人恐惧的黑手党首领，数学一旦做了什么决定，就是一锤定音、令出必行，没有任何商量的余地。数学给出的结论都是一些让你无法拒绝也毫无辩驳机会的结论。
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但是私底下，数学也会有缺乏安全感的时候。它也有怀疑、忧虑和脆弱，也会不清楚自己做的到底是对还是错。尤其当遇到无穷大的问题的时候，数学会夜不能寐，整夜地担忧和挣扎，被存在的恐惧感所折磨。在数学的发展历史上，无穷大的引入不止一次造成过混乱和恐慌，有时整个数学王国甚至都走到了崩溃的边缘，那实在是相当凶险的处境。
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在美国有线电视网络媒体公司（HBO）播出的电视剧《黑道家族》中，黑帮老大托尼·索普莱诺发现自己的母亲竟然想杀了自己，他因此感到极度焦虑，不得不去看精神科医生。可见，黑帮老大也有恐慌和脆弱的时候，在凶狠的外表下，隐藏着的是一颗恐惧而迷惑的心。
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同样，微积分也遇到过这样的危机。在微积分最风光的时候，它也曾有恐惧不安的时刻。几个世纪以来，微积分所向披靡、不可一世，它毫不费力地横扫眼前的一切问题，解决得干净利落。但在内心里，微积分知道自己体内某些本质的问题一直在隐隐作痛。昔日让它功成名就的东西——它处理“无穷”时那无所畏惧的强硬态度——正是今日要将它彻底摧毁的祸根。幸好，经过治疗，微积分终于顺利度过了危机，这种治疗方法的名字叫作“分析”。
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18世纪的时候，数学家们曾被这样一个无穷数列所困扰：
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1－1＋1－1＋1－1 + ……
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这个数列并不复杂，它描述了一种无穷的摇摆状态：前进一步，再后退一步，又前进一步，再后退一步，不断重复，直至无穷。
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问题是：这个数列能成立吗？如果能的话，它的和是多少呢？
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面对这样一个无穷数列，乐观主义者会试图把我们在有限求和时总结出的那些规律拿出来，看看能不能用在无限求和的问题上。比如说，我们知道1＋2 = 2＋1。两数或多数相加时，我们可以任意改变两个数的位置，而求和结果不变：a＋b = b＋a，这就是加法交换律。当两个以上的数相加时，我们还可以在算式中随意加入括号，将几个数组合起来，最后的结果也会保持不变。比如，（1＋2）＋4 = 1＋（2＋4）。不管是先算1＋2，再加上4；还是先算2＋4，再加上1，结果都是一样的，这就是加法结合律。当一个求和数列里有加法有减法时，这些规律同样适用，只要记住“减去一个数等于加上相应的负数”这个原则就可以了。比如，从上面的无穷数列中截出3项：1－1＋1等于多少呢？我们可以将这个算式看作（1－1）＋1，也可以把它看作1＋（－1＋1）。在第二个算式里，我们把减去1的运算换成了加上－1的运算，显然这两种算法是等价的。不管用哪种方法计算，1－1＋1都等于1。
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但是，当我们从有限求和转为无限求和，就会有些不愉快的问题出现。如果我们对上述无穷数列使用加法结合律，会出现什么情况呢？一种做法是把每对＋1和－1结合起来，上述数列就会变成：