打字猴:1.701003903e+09
1701003903 = 1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+……
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1701003905 = 1+ 0+0+0+……
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1701003907 = 1
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1701003909 这两种算法都有道理,也不存在一种算法比另一种算法更好的情况。那么,难道这个数列的和既是0又是1?这个结论在今天听起来很荒谬,但在当时竟然有不少数学家都觉得这个某谬的结论是可以接受的——既然上帝能从虚无中创造世界,那么一个数列的和就可以既是0又是1。1703年,当时的一位牧师身份的数学家吉多·格兰迪这样写道:“如果我愿意的话,只要在1-1+1-1+1-1+……这个数列里以不同的方式加入括号,就可以得到0或者1这两种答案。由此可以看出,神造世界、无中生有这个概念是非常有说服力的。”
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1701003911 虽然这么说,格兰迪还是更喜欢第三种答案。这个答案的结果并非0和1,你能猜出结果是什么吗?我想,你会用一种开玩笑但又极具专业性的口吻说:“那应该是1/2吧。”
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1701003913 没错,格兰迪认为,这个无限数列真正的和是1/2。不仅格兰迪这么认为,当时一些比他更出色的数学家,比如莱布尼茨和欧拉,也认为这个数列的和是1/2。证明这个数列的和是1/2有很多不同的方法,其中最简单的一种是,把这个数列的和表示为这个数列的和的一个等式,再解出这个和。让我们用S来表示这个数列的和,根据定义可表示为:
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1701003915 S=1-1+1-1+1-1+……
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1701003917 现在我们先把第一个1留在一边,考察从第二项开始的各项。显然,去掉第一项以后,这个数列和原先的数列是一样的,所以,我们可以写成:
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1701003919 S=1-1+1-1+1-1+……
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1701003921 =1-(1-1+1-……)
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1701003923 =1-S
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1701003925 通过解S= 1-S这个方程,我们得到S=1/2。
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1701003927 好了,现在关于这个数列的和到底是多少,我们已经有了3种不同的答案:0、1和1/2。这个数列的和究竟是多少,争论一直持续了150年左右。之后,一个崭新的技术出现了,一批“分析家”们一下子就打好了微积分和无限概念(包含极限、导数、积分、无限序列)的坚实基础。在这个基础上,微积分学科被系统地建立了起来,它的逻辑体系和欧几里得几何学一样严密。
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1701003929 微积分学提出了两个重要的概念,一是“部分总和”,二是“收敛”。“部分总和”是一个动态的和:你可以把有限个项加总求和,然后在任意一项停止,就得到了到这一项为止的部分总和。比如说,对于上述无穷数列1-1+1-1+1-1+……,我们可以求出前3项的和:1-1+1 = 1,我们把这个部分总和记作S3。其中,字母S代表“总和”,下标3表示这是前3项的部分总和。
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1701003931 对于这个无穷数列,我们可以求出到任意项为止的部分总和:
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1701003933 S1=1
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1701003935 S2=1-1=0
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1701003937 S3=1-1+1=1
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1701003939 S4=1-1+1-1=0
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1701003941 不难看出,这个无穷数列的部分总和不断地在0和1之间振荡。不管我们加多少项,部分总和永远会在0和1之间摆动,它不会收敛到0,也不会收敛到1,更不会收敛到1/2。因为上述无穷数列1-1+1-1+1-1+……的和不会向任何一个数收敛,所以今天的数学家会说,这个数列是发散的。
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1701003943 换句话说,当我们不断地加上更多的项,这个数列的部分总和都不会趋向于任何极限值。因此,讨论这个无限数列的和是没有意义的。
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1701003945 既然如此,如果我们小心地避开这样的领域,只考虑那些会收敛的无限数列的和,之前的悖论是不是就完全解决了呢?
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1701003947 很遗憾,不是的,噩梦还在继续。但是,这样的噩梦带来的也并不都是负面信息,正是在与这些“恶魔”的战斗中,18世纪的数学家们发现了微积分学科里深埋的秘密,并把这些秘密暴露于阳光下。在这个过程中,我们获得了很多宝贵的经验,学到了很多无价的知识。这些经验不仅关乎数学本身,还关乎数学在音乐、医学成像等领域的应用。
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1701003949 让我们来考虑这样一个级数,它的学名叫作“交错调和级数”,形式如下:
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