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= 1＋（－1＋1）＋（－1＋1）＋（－1＋1）＋……
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= 1＋ 0＋0＋0＋……
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= 1
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这两种算法都有道理，也不存在一种算法比另一种算法更好的情况。那么，难道这个数列的和既是0又是1？这个结论在今天听起来很荒谬，但在当时竟然有不少数学家都觉得这个某谬的结论是可以接受的——既然上帝能从虚无中创造世界，那么一个数列的和就可以既是0又是1。1703年，当时的一位牧师身份的数学家吉多·格兰迪这样写道：“如果我愿意的话，只要在1－1＋1－1＋1－1＋……这个数列里以不同的方式加入括号，就可以得到0或者1这两种答案。由此可以看出，神造世界、无中生有这个概念是非常有说服力的。”
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虽然这么说，格兰迪还是更喜欢第三种答案。这个答案的结果并非0和1，你能猜出结果是什么吗？我想，你会用一种开玩笑但又极具专业性的口吻说：“那应该是1/2吧。”
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没错，格兰迪认为，这个无限数列真正的和是1/2。不仅格兰迪这么认为，当时一些比他更出色的数学家，比如莱布尼茨和欧拉，也认为这个数列的和是1/2。证明这个数列的和是1/2有很多不同的方法，其中最简单的一种是，把这个数列的和表示为这个数列的和的一个等式，再解出这个和。让我们用S来表示这个数列的和，根据定义可表示为：
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S=1－1＋1－1＋1－1＋……
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现在我们先把第一个1留在一边，考察从第二项开始的各项。显然，去掉第一项以后，这个数列和原先的数列是一样的，所以，我们可以写成：
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S=1－1＋1－1＋1－1＋……
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=1－（1－1＋1－……）
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=1－S
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通过解S= 1－S这个方程，我们得到S=1/2。
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好了，现在关于这个数列的和到底是多少，我们已经有了3种不同的答案：0、1和1/2。这个数列的和究竟是多少，争论一直持续了150年左右。之后，一个崭新的技术出现了，一批“分析家”们一下子就打好了微积分和无限概念（包含极限、导数、积分、无限序列）的坚实基础。在这个基础上，微积分学科被系统地建立了起来，它的逻辑体系和欧几里得几何学一样严密。
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微积分学提出了两个重要的概念，一是“部分总和”，二是“收敛”。“部分总和”是一个动态的和：你可以把有限个项加总求和，然后在任意一项停止，就得到了到这一项为止的部分总和。比如说，对于上述无穷数列1－1＋1－1＋1－1＋……，我们可以求出前3项的和：1－1＋1 = 1，我们把这个部分总和记作S3。其中，字母S代表“总和”，下标3表示这是前3项的部分总和。
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对于这个无穷数列，我们可以求出到任意项为止的部分总和：
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S1=1
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S2=1－1=0
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S3=1－1＋1=1
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S4=1－1＋1－1=0
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不难看出，这个无穷数列的部分总和不断地在0和1之间振荡。不管我们加多少项，部分总和永远会在0和1之间摆动，它不会收敛到0，也不会收敛到1，更不会收敛到1/2。因为上述无穷数列1－1＋1－1＋1－1＋……的和不会向任何一个数收敛，所以今天的数学家会说，这个数列是发散的。
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换句话说，当我们不断地加上更多的项，这个数列的部分总和都不会趋向于任何极限值。因此，讨论这个无限数列的和是没有意义的。
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既然如此，如果我们小心地避开这样的领域，只考虑那些会收敛的无限数列的和，之前的悖论是不是就完全解决了呢？
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很遗憾，不是的，噩梦还在继续。但是，这样的噩梦带来的也并不都是负面信息，正是在与这些“恶魔”的战斗中，18世纪的数学家们发现了微积分学科里深埋的秘密，并把这些秘密暴露于阳光下。在这个过程中，我们获得了很多宝贵的经验，学到了很多无价的知识。这些经验不仅关乎数学本身，还关乎数学在音乐、医学成像等领域的应用。
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让我们来考虑这样一个级数，它的学名叫作“交错调和级数”，形式如下：
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